1.14 Champ résultant

 

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            Si la boule de moelle de sureau d'un pendule électrique est placée à mi-chemin entre deux autres boules de sureau, chargées avec des charges égales q1 et q2 de même signe, elle n'est attirée ni vers l'une, ni vers l'autre. Or le champ électrique de chacune des deux boules, pris indépendamment, E1 et E2 , donné par notre équation (1.12.1), est égal à l'autre mais de sens opposé

Comme le fil de soie auquel est attachée la boule de sureau chargée reste verticale, il faut que la force électrique qu'elle ressent soit nulle, et donc que le champ électrique résultant dû aux deux charges à la fois ER qu'elle subit le soit également. Ce qui est le cas si celui-ci est donné par

puisque la somme des champs de chacun pris indépendamment donne zéro. Le champ résultant est donc vraiment donné par la somme vectorielle des champs électriques de chaque charge en supposant que cette charge est seule en présence. Cette façon de faire, dite principe de superposition, s’applique donc dans ce cas.

 

            La force électrique due à deux charges sur une troisième q3 placée en ce point doit donc être donnée par notre équation (1.12.2) avec le champ résultant ER donné par notre équation (1.13.2) comme champ électrique local.

 

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Considérons le cas de trois charges ponctuelles, de + 15 μC, - 50 μC et de - 10 μC telles que placées sur le diagramme ci-contre. Cherchons le champ électrique résultant là où se trouve la charge de - 10 μC. Nous remarquons que le vecteur unité de la première charge est vers la droite; et que, comme cette charge est positive, son vecteur champ électrique est lui-aussi vers la droite. Sa grandeur est donnée par notre équation (1.12.1) avec la valeur de la constante déjà connue. La charge en question est de 15⋅10-6 C et la distance est de 30⋅10-3 m. Ce qui donne ici 1,5⋅108 N/C. Remarquons bien que un microcoulomb est un millionième de coulomb.

 

Remarquons que le vecteur unité de la charge de - 50 μC fait un angle de 53° au nord de l'est. Comme la charge est négative, son vecteur champ au point d'intérêt fait un angle de 53° au sud de l'ouest. Sa grandeur est donnée par notre équation (1.12.1) avec la valeur de la charge en question de 50⋅10-6 C et la distance, de 50⋅10-3 m. Ce qui donne ici 1,8⋅108 N/C. Remarquons bien que nous avons considéré la charge en valeur absolue; ceci parce que nous avons déjà tenu compte de l'effet de son signe sur le sens du vecteur champ.

 

Décomposons ce dernier vecteur selon les axes X et Y. L'angle qu'il fait est de 233° (soit 180° + 53°) par rapport à l'axe X. Sa composante selon X est donnée alors par sa grandeur fois le cosinus de cet angle, soit - 1,08⋅108 N/C; sa composante selon Y, par sa grandeur fois le sinus de cet angle, soit - 1,44⋅108 N/C.

 

Nous avons maintenant à tenir compte de deux vecteurs champs selon l'axe X: la composante juste trouvée et le champ de la première charge. Ces deux champs sont de sens opposés. La résultante est + 0,42⋅108 N/C (1,50⋅108 - 1,08⋅108). Nous n'avons qu'une composante selon Y, celle de -1,44⋅108 N/C. Le vecteur résultant est donné par l'hypoténuse. Nous obtenons donc, à l'aide du théorème de Pythagore, une valeur de 1,50⋅108 N/C. L'angle θ que fait ce vecteur champ résultant avec l'axe des X est tel que sa tangente est donnée par le rapport de sa valeur selon Y, soit - 1,44⋅108, et de + 0,42⋅108, soit de - 3,43. L'angle correspondant à cette tangente est de 286,3°.

 

La force subie par la charge de - 10 μC en ce point est donnée par notre équation (1.12.2). Son sens est opposé à celui du champ électrique comme le signe de sa charge est négatif: elle fait donc un angle de 106,3°. Sa grandeur est donnée par le produit de sa charge par le champ, ce qui donne 1,5⋅103 N.