CHAPITRE DEUX

POTENTIEL ET CHAMP

            Nous avons vu la difficulté de calculer le champ électrique dû à une configuration de charges, fut-elle de charges ponctuelles, comme dans la section 1.14, ou de charges réparties sur une surface, comme à la section 1.15. Cette difficulté tient au fait que le champ électrique en un point est un vecteur, vecteur dont la grandeur et la direction dépendent de la distance entre le point en question et la charge ponctuelle.

            L'équation du vecteur force électrique entre deux charges ponctuelles, notre équation (1.10.1), est similaire à l'équation du vecteur force gravitationnelle entre deux masses ponctuelles trouvée par sir Isaac Newton: c'est un vecteur dont la direction est selon la droite qui relie les deux masses ponctuelles et dont la grandeur va comme l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

            La difficulté de calcul du champ ou de la force électriques, dûs à une configuration de charges, se retrouve donc également dans le cas, en gravitation, de l'influence de différents corps célestes sur un autre.

            Aussi le comte Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) invente-t-il, en 1777, pour simplifier ses calculs concernant les objets célestes, une fonction scalaire qu'il représente par la lettre V et que nous allons examiner bientôt. Le marquis Pierre Simon de Laplace (1749-1827) étudie cette fonction en 1782 et établit l'équation (qui porte son nom) que cette fonction satisfait en une position où il n'y a pas de masse. Denis Poisson (1781-1840) reprend la fonction V en 1811 dans le contexte de la force électrique. Il en généralise en 1813 la solution au cas du point où il y a des charges. Cette fonction V est nommée potentiel par George Green (1793-1841) en 1828.

2.1 Le potentiel électrique

            Le vecteur champ électrique d'une charge ponctuelle q est donné, avons-nous vu, par notre équation (1.12.1)

où le sens du vecteur unité va de la charge q vers le point où nous désirons évaluer le champ électrique, son point d'application est ce dernier point, et r est la distance entre ce point et la charge ponctuelle.

            La fonction V , dite potentiel électrique, est définie de telle sorte que celle-ci varie d'une différence infime dV , entre les positions s₁ et s₂ , donnée par

le produit scalaire du vecteur champ électrique par le vecteur déplacement infime qui va de la position s₁ à la position s₂ . Le vecteur champ électrique est considéré constant sur ce déplacement puisque ce dernier est infime. Le potentiel de la position s₂ est plus petit que celui de la position s₁ si le produit scalaire des deux vecteurs est positif.

            Nous sommes en mesure de déterminer les unités de la fonction potentiel électrique, puisqu'elle dépend du produit d'un champ électrique par une distance. Comme le champ électrique est en N / C et la distance est en m , il s'ensuit que les unités de la fonction sont des N m / C , soit des J / C , notés V , pour volts. Nous verrons plus tard pourquoi pareille nomenclature.

            Il ressort de notre équation (2.1.2) que le potentiel électrique ne varie pas entre les positions s₁ et s₂ si le vecteur déplacement infime qui va de la première à la seconde est perpendiculaire au vecteur champ électrique local. Les deux positions en question sont donc au même potentiel, comme toutes les positions intermédiaires trouvées sur le segment ds , d'ailleurs.

            Une surface infime dA peut être construite perpendiculaire à un vecteur qui a son point d'application là où elle se trouve. Il s'ensuit donc que toutes les positions trouvées sur cette surface sont au même potentiel si le vecteur en question est le vecteur champ électrique. Pareille surface est dite équipotentielle.

            Considérons deux surfaces équipotentielles rapprochées, l'une dont la valeur du potentiel est V₁ , l'autre dont la valeur du potentiel est V₂ . Le vecteur champ électrique, avons-nous vu, est toujours perpendiculaire à celles-ci. Nous pouvons donc déduire de celles-ci la direction du vecteur champ électrique et son sens: le vecteur champ électrique est perpendiculaire aux équipotentielles rapprochées et va de celle dont la valeur est la plus grande à celle dont la valeur est la plus faible. Et sa grandeur est donnée par

le quotient de leur différence de valeur infime dV de leurs potentiels par la distance infime ds qui sépare les équipotentielles.

                        Voilà comment Lagrange utilisait sa fonction: il calculait d'abord les surfaces équipotentielles, puis, à partir d'elles, le vecteur force gravitationnelle. Mais comment calculait-il la position de ces surfaces?

2.2 Potentiel électrique d'une charge ponctuelle

            Nous savons, par notre équation (2.1.1), que le vecteur champ électrique d'une charge ponctuelle q est radial (soit le long de rayons qui en émanent). Or, toute surface sphérique centrée sur la charge ponctuelle q est perpendiculaire en tout point aux droites qui émanent de cette charge pour arriver à ce point de la surface sphérique. Il s'ensuit que toute surface infime dA composant la surface sphérique centrée sur la charge est perpendiculaire au vecteur champ électrique qui y a son point d'application; et donc que toute surface sphérique centrée sur la charge ponctuelle est une équipotentielle.

            Dans le cas d'une charge ponctuelle, la différence infime dV entre les potentiels des points très rapprochés s₁ et s₂ trouvés sur les équipotentielles sphériques concentriques V₁ et V₂ est donnée par nos équations (2.1.2) et (2.1.1), soit

La différence entre les potentiels des points éloignés s_o et s_f trouvés sur les surfaces équipotentielles sphériques V_o et V_f est donnée en faisant la somme (ou plus exactement l'intégrale) des différences infimes sur le parcours qui les sépare, soit la somme des dV de notre équation précédente

La solution de l'intégrale de gauche de cette équation est

la différence des potentiels propres aux surfaces finale et initiale.

            Celle de droite est plus difficile à résoudre. Nous allons choisir, comme le montrent nos croquis, un parcours sur lequel les vecteurs et sont de même sens. Le produit scalaire de deux vecteurs a comme résultat la grandeur de chacun fois le cosinus de l'angle qui les sépare. Cet angle est nul quand les deux vecteurs sont de même sens. Et la grandeur du cosinus d'un angle nul est l'unité. De plus, la grandeur du vecteur unité est également l'unité. Quant à la grandeur du changement de position ds , elle n'est alors rien d'autre, comme le montrent nos croquis, que l'accroissement dr de la grandeur de la distance r entre la charge ponctuelle q et la position qui, ici, varie d'une équipotentielle à l'autre. Nous avons donc

Notre équation (2.2.2) devient, grâce à nos équations (2.2.3) et (2.2.4)

Les termes k_e q , trouvés sous le signe somme de l'intégrale, sont des constantes: ils peuvent donc être mis en facteur, sortis du signe somme de l'intégrale. Le terme de droite s'intègre alors facilement et devient

Appelons r_o la distance r entre la première surface sphérique équipotentielle V_o considérée et la charge ponctuelle q ; et de même, r_f la distance r entre la dernière surface sphérique équipotentielle V_f et la charge ponctuelle q . Notre dernière équation devient alors

La différence de potentiel entre les deux équipotentielles sphériques situées à des distances données de la charge ponctuelle est donc donnée par la différence de deux termes semblables, ne différant que par la valeur de la distance à la charge en question.

            Le potentiel (et non plus la différence de potentiel) d'une de ces surfaces sphériques n'a donc pas une valeur spécifique. En effet l'équation

est sa solution générale, puisque la constante, qui apparaît à la fois dans V_o et dans V_f , va s'annuler lors du calcul de la différence de potentiel entre les deux surfaces.

            Le potentiel d'une surface équipotentielle située à l'infini de la charge ponctuelle est alors égal à cette constante, comme r égale alors l'infini (dont le symbole est ∞):

            Le potentiel d'une surface équipotentielle d'une charge ponctuelle située à l'infini est, par convention, décrété nul. Il s'ensuit de cette convention que la valeur de la constante est nulle également et que le potentiel d'une surface équipotentielle située à une distance r d'une charge ponctuelle q est

            Voilà le résultat analogue à celui qu'avait calculé Lagrange pour sa fonction V dans le cas de la force gravitationnelle en 1777. La différence principale, trouvée par Poisson en 1811, est que la charge ponctuelle peut être ou positive ou négative, alors que la masse ponctuelle, elle, n'est que positive. Le potentiel électrique d'une charge ponctuelle est donc négatif dans le cas d'une charge négative et positif dans le cas d'une charge positive.

2.3 Potentiel résultant (charges ponctuelles)

            Nous avons vu dans notre section 1.14 que le vecteur champ électrique résultant est donné par la somme vectorielle des vecteurs champs électriques considérés indépendamment. Nous venons de voir que la différence de potentiel électrique infime dV se calcule à l'aide du vecteur champ électrique. Il s'ensuit que la différence de potentiel électrique infime résultant dV_R se calcule à l'aide du vecteur champ électrique résultant , lequel est donné par la somme vectorielle des champs électriques considérés indépendamment, que nous analysons ici dans le cas de deux vecteurs champs électriques et

Or le produit scalaire est commutatif; notre équation devient alors

Il s'ensuit que la différence de potentiel infime résultante est donnée par la somme des différences de potentiel dues à chaque champ électrique considéré séparément.

            La différence de potentiel entre deux surfaces équipotentielles éloignées est donnée par la somme des différences de potentiel, puisque l'intégrale d'une somme est égale à la somme des intégrales:

Or chaque différence de potentiel, due à chaque champ électrique considéré séparément, est donnée par notre équation (2.2.7). Le potentiel, dû à chaque charge ponctuelle considérée séparément, est donc donné par notre équation (2.2.10). Il s'ensuit que le potentiel résultant V_R est donné par la somme des potentiels dûs à chaque charge q considérée séparément. Le principe de superposition s'applique donc encore ici.

            Notre dernière équation nous permet de calculer le potentiel en un point dû à un nombre fini de charges ponctuelles. C'est ainsi que Lagrange calculait en 1777 l'effet de plusieurs astres sur un autre, en calculant le potentiel dû à chacun séparément. Notre dernière équation, trouvée en 1811 par Poisson, diffère tout de même du potentiel de Lagrange du fait que la charge électrique peut être ou positive ou négative, alors que la masse n'est que positive.

Considérons le cas de trois charges ponctuelles, de + 15 μC, - 50 μC et de - 10 μC telles que placées sur le diagramme ci-contre. Cherchons le potentiel électrique résultant là où se trouve la charge de - 10 μC. Nous remarquons que la première charge est positive. Son potentiel est donné par notre équation (2.2.10) avec la valeur de la constante déjà connue. La charge en question est de 15⋅10^-6 C et la distance est de 30⋅10^-3 m. Ce qui donne ici 4,5 MV.

Comme la charge de - 50 μC est négative, son potentiel électrique est négatif. Sa valeur est donnée par notre équation (2.210) avec la valeur de la charge en question de - 50⋅10^-6 C et la distance, de 50⋅10^-3 m. Ce qui donne ici - 9,0 MV.

Nous avons maintenant à tenir compte des deux potentiels électriques. Le potentiel électrique résultant est de - 4,5 MV soit ( + 4,5 MV - 9,0 MV).

2.4 Potentiel résultant (charges étendues)

            Nous avons trouvé comment calculer le potentiel électrique dû à plusieurs charges ponctuelles. Mais que faire si la charge examinée est étendue dans l'espace? Voilà un problème que doit également examiner Poisson en 1811.

            La charge Q répartie sur une région étendue peut se décomposer en un nombre infini de parcelles infimes de charge dq . Chacune de ces parcelles, de charge infime, occupe une région tellement petite de l'espace que chacune peut être considérée comme ponctuelle. Il s'ensuit que l'argument utilisé dans la section précédente s'applique de nouveau: le potentiel électrique résultant au point considéré, soit celui dû à toute la charge étendue Q , est donné par la somme des potentiels électriques

dûs à chaque parcelle dont la charge est dq et qui se trouve à une distance r du point où le potentiel est cherché.

            Cette équation est définitivement plus facile à solutionner que notre équation (1.15.2), puisqu'il n'y a pas de vecteurs à considérer, mais seulement des scalaires. Mais même cette simplification a ses limites. Aussi n'allons-nous pas chercher à solutionner des problèmes avec cette méthode. Nous allons plutôt en introduire une autre avec laquelle nous allons calculer, quelque peu plus facilement, le champ électrique dû à des charges étendues.

2.5 Le flux électrique

            Interceptons, avec une petite vitre plane, les rayons lumineux qui proviennent d'une source lumineuse. Le flux de lumière qui traverse la petite vitre plane est la quantité de lumière qui la traverse. Celle-ci dépend de trois facteurs: la grandeur de la petite vitre, la quantité de rayons lumineux par unité de surface à cet endroit (son intensité) et l'orientation des rayons par rapport à la surface plane de la petite vitre.

         Flux nul

            Si la petite vitre plane est orientée de telle sorte que les rayons lumineux ne font que glisser dessus, la quantité de lumière qui la traverse est nulle. Si la petite vitre plane est orientée de telle sorte que les rayons lumineux la frappent à angle droit, la quantité de lumière qui la traverse est maximale et est donnée par le produit de l'intensité lumineuse qui la frappe fois sa surface.

   Flux maximum

            De même, le flux électrique φ_e (la lettre grecque φ est la lettre phi minuscule) dû au vecteur champ électrique, dont la grandeur est E , qui traverse à angle droit une petite surface plane de grandeur A, est donné par le produit de ces deux quantités

            Le flux électrique, comme tout flux d'ailleurs, est un scalaire composé par le produit du vecteur champ électrique et d'une surface plane dont l'orientation importe. C'est donc une quantité qui se représenterait fort bien à l'aide du produit scalaire de deux vecteurs: le vecteur champ électrique, d'une part, et le vecteur surface plane, d'autre part.

  Flux quelconque

            Ce dernier vecteur a, comme grandeur, celle de la surface plane qu'il représente; mais en plus, il a une direction (et un sens). Sa direction est perpendiculaire à la surface plane de telle sorte que le produit scalaire de ces deux vecteurs donne la valeur trouvée dans l'équation (2.5.1) lorsque le vecteur champ électrique est perpendiculaire à la surface plane et donc parallèle au vecteur surface plane, et zéro dans le cas où le vecteur champ électrique est parallèle à la surface plane et donc perpendiculaire au vecteur surface plane.

Évidemment, toute surface perpendiculaire au vecteur champ électrique est, comme nous avons vu, une surface équipotentielle. Remarquons que le sens du vecteur surface est jusqu'ici arbitraire.

            Les surfaces équipotentielles que nous avons vues jusqu'ici sont des sphères, des surfaces qui ne sont pas planes et donc pour lesquelles il est impossible de définir un vecteur surface et d'en trouver ainsi le flux électrique. Il serait aussi impossible de calculer le flux électrique d'une surface plane qui serait traversée, en des points différents, par des vecteurs champs électriques différents, chacun d'une grandeur et d'une direction différente.

            Toute surface, plane ou non, peut être décomposée en une somme infinie de petites dalles, de surface infime dA , chacune plane, tout comme toute surface peut être recouverte par une mosaïque de petites dalles planes. Chacune de ces dalles infimes a donc un vecteur surface infime bien défini, et le vecteur champ électrique qui traverse chacune est constant puisque la surface est si petite. Évidemment, le flux électrique qui traverse pareille dalle infime est lui-même infime, de telle sorte que c'est le flux électrique infime dφ_e que définit notre produit scalaire

Le flux électrique qui traverse une surface A est trouvé en sommant (intégrant) les flux électriques infimes, pour chaque dalle infime, sur toute la surface en question

            Certains types de surfaces enferment un volume; la plupart, non. La surface d'une ampoule électrique, par exemple, enferme un volume: celui qui se trouve dans l'ampoule. La surface d'une boîte de conserve, que n'a pas encore attaquée l'ouvre-boîte, enferme un volume: c'est ainsi qu'y sont enfermés les petits pois qu'elle contient. La surface d'une corbeille à papiers, par contre, n'enferme pas de volume: c'est pourquoi nous pouvons y jeter nos déchets. La surface de la corbeille à papiers est ouverte, contrairement à la boîte de conserve qui est une surface fermée. Une surface fermée est donc une surface qui enferme un volume.

            On nomme flux net le flux qui traverse une surface fermée . Le flux électrique net φ_{e n} est trouvé en intégrant les flux infimes pour toute sa surface fermée, surface où, en sommant sur toutes les dalles infimes, l'on parcourt chacune jusqu'à ce que l'on revienne à la première, celle de départ. Ce qui est symbolisé par le cercle au milieu du signe intégrale

Nous allons donner le nom d'enceinte à ces surfaces fermées. Le sens des vecteurs surface infime composant une enceinte est, par convention, perpendiculaire à la dalle infime elle-même et vers l'extérieur de la région qu'elle enferme.

2.6 Le théorème de Gauss

            Nous avons trouvé qu'une charge ponctuelle q possède des surfaces équipotentielles sphériques, centrées sur elle, comme son vecteur champ électrique est radial selon notre équation (2.1.1). Ces surfaces sphériques concentriques sont des enceintes, comme elles enferment bien un volume. Nous pouvons donc en calculer le flux électrique net φ_{e n} à l'aide de notre équation (2.5.5).

            Le vecteur surface infime de chaque dalle infime de notre sphère concentrique a donc, comme point d'application, la dalle infime et son sens va en s'éloignant de la charge ponctuelle q , pour que celui-ci soit vers l'extérieur de la région qu'il enferme. Le sens du vecteur champ électrique de la charge ponctuelle, à la dalle infime, est le même si la charge est positive, sans quoi il va de la dalle infime vers la charge.

            Supposons pour le moment que la charge ponctuelle soit positive. Dans ce cas, les vecteurs champ électrique et surface infime sont de même sens: leur produit scalaire est donc donné simplement par la grandeur de chaque vecteur

Or tous les points de la sphère centrée sur la charge sont à même distance r de celle-ci. Il s'ensuit que la grandeur de son champ électrique, donnée par le terme devant le vecteur unité dans notre équation (2.1.1), est une constante sur cette surface. Nous pouvons donc mettre cette constante en facteur devant notre intégrale.

Or la somme des surfaces infimes dA qui, ensemble, composent la surface A , donne justement cette dernière. Et la surface en question est celle d'une sphère de rayon r , soit 4πr ² où π est la lettre grecque pi minuscule.

Remplaçons maintenant la grandeur du vecteur champ électrique par sa valeur trouvée dans l'équation (2.1.1). Le flux électrique net devient alors

Remarquons tout de suite que le signe du flux électrique net est celui de la charge ponctuelle. Ceci était prévisible comme les vecteurs surface infime et champ électrique d'une charge ponctuelle positive sont de même sens: s'éloignant tous deux de la charge. Leur produit scalaire est donc positif. Ces deux vecteurs sont de sens opposés si la charge est négative, puisque le vecteur champ électrique va alors vers la charge, alors que le vecteur surface infime s'en éloigne.

            Définissons la permittivité du vide ε₀ (la lettre grecque ε est la lettre epsilon minuscule) comme

qui donne 8,85⋅10 ^{- 12} C ² / N m ² , puisque la valeur de k_e est de 9,0⋅10 ⁹ N m ² / C ² . Notre équation du flux électrique net dû à une charge ponctuelle, dans le cas d'une sphère centrée sur celle-ci, devient alors

Remarquons bien que, jusqu'ici, la démonstration de ce théorème repose sur le choix que nous avons fait de notre enceinte; que nos arguments exigent que notre enceinte soit une sphère centrée sur notre charge ponctuelle; sans quoi nos calculs seraient faux. Mais remarquons de plus que notre résultat trouvé ne dépend pas du rayon de l'enceinte sphérique centrée sur la charge ponctuelle.

            Considérons donc deux enceintes, toutes deux des sphères centrées sur la charge ponctuelle; l'une de rayon r₁ , très petit, et l'autre de rayon r₂ . Le flux électrique net qui traverse chacune est le même. Il s'ensuit que le volume, compris dans l'enceinte de rayon r₂ non compris dans l'enceinte de rayon r₁ , n'a pas d'effet sur le flux net de l'enceinte de rayon r₂ . Si cela est le cas, il suffit qu'une enceinte, quelle que soit sa forme, comprenne en son intérieur l'enceinte sphérique de rayon r₁ pour que son flux net soit identique à celui qui traverse l'enceinte sphérique de rayon r₁.

            Nous avons donc établi que le flux net dû à une charge ponctuelle est donné par notre équation (2.6.6) quelle que soit la forme de l'enceinte, du moment que celle-ci la contienne.

            Nous avons déjà vu que le principe de superposition s'applique au vecteur champ électrique. Ce principe, faut-il le rappeler, dit que le vecteur champ électrique résultant en un point est donné par la somme des vecteurs champs électriques dûs aux charges, prises une à une. Nous venons de calculer le flux électrique net dû à une première charge. Nous pouvons, de la même façon, trouver le flux électrique net dû à une seconde, puis une troisième et ainsi de suite et ce, que ces charges soient vraiment ponctuelles, ou, en fait, des parcelles de charges infimes dq . Le flux net résultant est donné par la somme des flux nets individuels, soit par la somme des charges Q_{i n}

comprises à l'intérieur du volume fermé par l'enceinte choisie sur la permittivité du vide. Cette équation constitue le résultat du théorème de Gauss, trouvé en 1839 par Carl Friedrich Gauss (1777-1855), et qui constitue une autre forme du théorème trouvé par Poisson en 1813. C'est elle que nous allons utiliser pour trouver le vecteur champ électrique dû à plusieurs configurations de charges.

2.7 Champ électrique d'une sphère chargée uniformément

            Utilisons donc le théorème de Gauss pour calculer le champ électrique dû à une sphère de rayon R dont la charge Q , supposée positive, est répartie uniformément sur sa surface. Coulomb avait montré que c'est ainsi que la charge se répartit sur un conducteur sphérique, comme nous avons vu dans notre section 1.15.

Direction du champ électrique résultant

            Cherchons d'abord la valeur de ce champ en un point P à l'extérieur de celle-ci, situé à une distance r de son centre O . Considérons la charge dq trouvée au point A sur la sphère chargée. Celle-ci cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb, soit, dans notre cas, notre équation (1.15.1). Abaissons, du point A , une perpendiculaire à la droite qui passe par les points O et P : celle-ci intercepte la sphère chargée au point B . La charge dq qui s'y trouve cause, également en P , un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb. Ce champ, dû à la charge en B, a la même grandeur que celui dû à la charge en A comme la distance entre les points A et P est la même qu'entre les points B et P . Les angles θ sous-tendus sont les mêmes, mais l'un a une composante vers le haut alors que l'autre a une composante vers le bas. Il s'ensuit que le vecteur champ résultant de cette paire de charges infimes est le long de la droite passant par les points O et P . Or, toute charge dq trouvée dans l'hémisphère nord de la sphère chargée a un opposé placé symétriquement dans l'hémisphère sud, comme les points choisis ici sont arbitraires. Il s'ensuit que le vecteur champ électrique résultant, dû à toutes les paires de charges infimes formant la sphère chargée, est le long de la droite passant par les points O et P .

            La charge placée sur la sphère y est répartie uniformément. Il s'ensuit qu'une rotation de celle-ci par rapport à son point centre géométrique O ne change pas la valeur du champ résultant en P comme on y trouve encore des parcelles de charge identiques placées à telle distance du point en question. Or, l'équivalent de la rotation de la sphère chargée par rapport à son centre est un déplacement, à partir du point P , le long d'une circonférence centrée sur le point O . Il s'ensuit que le champ électrique doit avoir même grandeur pour tous les points trouvés à même distance du point centre O que le point P . (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un déplacement autour d'un globe lumineux tant et aussi longtemps que la distance au globe ne change pas.) La grandeur du champ électrique est donc invariante face à une rotation par rapport au centre géométrique de la sphère chargée uniformément: elle est donc constante sur une sphère qui lui est concentrique.

            Remarquons tout de suite que les arguments que nous venons de donner s'appliquent tout aussi bien à un point P qui est à l'intérieur de la sphère chargée qu'au point que nous avons considéré, à l'extérieur de celle-ci.

Cas à l’extérieur de la sphère

            Choisissons comme enceinte A une sphère concentrique dont la surface comprend le point P . Calculons la valeur de l'intégrale de surface du théorème de Gauss pour celle-ci. Le champ électrique au point P , un point quelconque de sa surface, est radial. Son vecteur surface infime dA , de même. Et les deux sont vers l'extérieur si, comme sur notre croquis, la charge est positive. Nous avons alors

puisque les deux vecteurs sont de même sens.

            Puisque notre enceinte est une sphère concentrique, la grandeur du vecteur champ électrique y est constante. Le champ électrique peut donc être mis en facteur devant le signe intégrale dans notre équation précédente. Elle devient donc

puisque l'intégrale des parcelles de surface donne la surface de notre sphère, soit 4 π r ² .

            Ce dernier résultat est basé sur les considérations de symétrie qui, avons-nous vu, s'appliquent aussi bien à un point P placé à l'intérieur de la sphère chargée qu'au point examiné. Il s'ensuit qu'il est vrai pour toute enceinte sphérique concentrique, intérieure ou extérieure à la sphère chargée.

a) cas du champ électrique à l’extérieur de la sphère chargée

            Si l'enceinte sphérique concentrique à la sphère, dont la charge Q est répartie uniformément sur sa surface, a un rayon r plus grand que celui de la sphère chargée R , il s'ensuit que celle-ci l'englobe entièrement. Le théorème de Gauss nous donne alors

puisqu'en pareil cas la charge Q_in , trouvée en son intérieur, n'est rien d'autre que toute la charge de la sphère chargée, soit Q . Isoler la grandeur du champ électrique et utiliser l'équation (2.6.5) nous permet de trouver, lorsque celle-ci est la même que dans le cas d'une charge ponctuelle:

Cas du champ à l’intérieur

quoique la charge Q est ici répartie sur une sphère de rayon R . Le théorème de Gauss nous permet donc de trouver que le champ électrique, à l'extérieur d'une sphère chargée uniformément, en un point situé à une distance r de son centre, est le même que celui d'une charge ponctuelle, de même valeur, situé en ce point centre, où, en fait, il n'y a pas de charge.

b) cas du champ électrique à l’intérieur de la sphère

            Si l'enceinte sphérique, concentrique à la sphère dont la charge Q est répartie uniformément sur sa surface, a un rayon r plus petit que celui de la sphère chargée R , il s'ensuit que celle-ci ne l'englobe pas du tout. Le théorème de Gauss nous donne alors

puisqu'en pareil cas la charge Q_in trouvée en son intérieur est nulle. Isoler la grandeur du champ électrique nous permet de trouver

un champ nul à l'intérieur de la sphère de rayon R . Le théorème de Gauss nous permet donc de trouver que le champ électrique est nul partout à l'intérieur d'une sphère chargée uniformément.

c) cas du champ électrique à la surface de la sphère

            La grandeur du champ électrique peut se réécrire, à partir de notre équation (2.7.4), dans le cas extrême où le rayon considéré est tout juste plus grand que celui de la sphère chargée, soit pratiquement R ,

puisque la densité superficielle de charge σ est donnée par la charge Q totale, uniformément répartie sur la surface de la sphère chargée 4 π R ² , divisée par cette dernière. Le champ électrique, trouvé par calcul à partir du théorème de Gauss à la surface de la sphère chargée, est donc proportionnel à la densité superficielle qui s'y trouve. Nous avions vu, dans notre section 1.8, qu'une charge placée à l'intérieur d'un conducteur creux ne subit aucune force, et donc aucun champ électrique. Et le théorème de Gauss vient de nous permettre de calculer que le champ électrique est nul à l'intérieur de la sphère conductrice dont la charge est répartie uniformément en surface.

2.8 Potentiel électrique d'une sphère chargée uniformément

a) cas à l’extérieur de la sphère chargée

            Nous avons vu que le vecteur champ électrique à l'extérieur d'une sphère dont la charge Q est répartie uniformément en surface, est identique à celui d'une charge ponctuelle de même valeur qui se trouverait en son centre. Il s'ensuit que le potentiel électrique à l'extérieur est identique

à celui d'une charge ponctuelle Q . Nous remarquons donc que les surfaces équipotentielles correspondent, dans ce cas, avec nos enceintes.

b) cas à la surface de la sphère chargée

            Le potentiel électrique, à la surface de la sphère chargée, est donné lorsque le rayon r est celui de la sphère chargée elle-même, soit R. Nous y trouvons une équipotentielle, donnée par

qui peut se réécrire comme

en termes de la densité superficielle de charges σ et du rayon de courbure R .

c) cas à l’intérieur de la sphère chargée

            Nous avons vu de plus que le champ électrique est nul à l'intérieur de la sphère chargée. Or notre équation (2.1.2) nous montre bien que le potentiel ne varie pas là où le champ électrique est nul. Il s'ensuit que la région interne de la sphère chargée est un volume équipotentiel, où le potentiel

est le même qu'à sa surface.

2.9 Champ électrique d'un cylindre uniformément chargé

            Utilisons le théorème de Gauss pour calculer le champ électrique dû à un cylindre de rayon R , de longueur L qui excède de beaucoup ce rayon, dont la charge Q , supposée positive, est répartie uniformément sur sa surface; ce, en un point P , situé à une distance r de son centre O , sur une droite perpendiculaire à son axe de symétrie et passant par son centre.

            Coulomb avait montré, avec son plan d'épreuve, que c'est uniformément que la charge se répartit sur un conducteur cylindrique dont la longueur excède de beaucoup le rayon.

Direction du champ électrique résultant

            Cherchons d'abord la valeur de ce champ à une distance r plus grande que le rayon R du cylindre chargé. Considérons la charge dq trouvée en un point A quelconque sur le cylindre chargé. Celle-ci cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb soit, dans notre cas, notre équation (1.15.1). Abaissons du point A une perpendiculaire au plan qui contient les points O et P et qui est perpendiculaire à l'axe de symétrie du cylindre: celle-ci intercepte le plan en question en C . Continuons, d'une même longueur, la droite qui contient les point A et C : nous voici au point B du cylindre chargé. La charge dq qui s'y trouve cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb. Le champ, dû à la charge en B , a la même grandeur que celui dû à la charge en A puisque la distance entre les points A et P est la même qu'entre les points B et P . Les angles θ sous-tendus sont les mêmes, mais l'un a une composante vers la droite alors que l'autre a une composante vers la gauche. Il s'ensuit que le vecteur champ résultant de cette paire de charges infimes est le long de la droite passant par les points O et P . Or toute charge dq trouvée dans la région gauche du cylindre chargé a un opposé placé symétriquement dans la région droite, comme les points choisis ici sont arbitraires. Il s'ensuit que le vecteur champ électrique résultant, dû à toutes les paires de charges infimes formant la charge du cylindre, est le long de la droite passant par les points O et P .

            La charge, placée sur le cylindre chargé, y est répartie uniformément. Il s'ensuit qu'une rotation de celui-ci par rapport à son axe de symétrie ne change pas la valeur du champ électrique résultant en P puisqu'on y trouve encore des parcelles de charge identiques placées à telle distance du point en question. Or l'équivalent de la rotation du cylindre chargé par rapport à son axe de symétrie est un déplacement, à partir du point P , le long d'une circonférence coaxiale au cylindre. Il s'ensuit que le champ électrique doit avoir même grandeur pour tous les points, trouvés à même distance de l'axe de symétrie, que le point P . (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un déplacement autour d'un tube lumineux tant et aussi longtemps que la distance au tube ne change pas.) La grandeur du champ électrique est donc invariante face à une rotation par rapport à l'axe de symétrie du cylindre chargé uniformément: elle est donc constante sur un cercle qui lui est coaxial.

            Un léger déplacement, à partir du point P , sur un trajet parallèle à l'axe de symétrie est l'équivalent d'un léger déplacement du cylindre chargé le long de son axe de symétrie. Ce déplacement ne change pas appréciablement le champ électrique tant et aussi longtemps que les angles sous-tendus par ses extrémités au point P n'ont pas changé appréciablement: en tel cas, le champ électrique résultant est, somme toute, encore le long de la droite qui passe par les points O et P , et la somme des vecteurs champ électriques infimes donne, somme toute, la même valeur. (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un léger déplacement le long de l'axe d'un tube lumineux tant et aussi longtemps que l'on reste proche de la région centre de celui-ci.)

            Il s'ensuit que la grandeur du champ électrique a essentiellement la même valeur sur une surface cylindrique coaxiale au cylindre chargé, tant et aussi longtemps qu'elle est fort courte comparée au cylindre chargé et qu'elle a même centre que lui; et que la direction du vecteur champ électrique y est essentiellement parallèle au vecteur surface infime local.

Cas du champ à l’extérieur

            Fermons à l'aide de deux disques plans ce court cylindre, dont le rayon est r et dont la longueur ℓ est de beaucoup inférieure à la longueur L du cylindre chargé. Le vecteur surface de ces disques est alors le long de l'axe de symétrie du cylindre chargé. L'ensemble cylindre et disques forme une boîte de conserve, ce que nous avons vu être une enceinte.

            Nous allons utiliser le théorème de Gauss dans le cas de cette boîte de conserve pour calculer le champ électrique au point P . Remarquons tout de suite que nos raisonnements sont aussi valables pour un point P , situé sur la droite perpendiculaire à l'axe de symétrie qui passe par le point centre O , à l'intérieur de celui-ci autant qu'à l'extérieur.

            La surface de notre enceinte, notre boîte de conserve, comprend en fait trois surfaces: la surface A_c du cylindre court, de rayon r et de courte longueur ℓ , celle du disque de gauche A_g et celle du disque de droite A_d . Le terme intégrale de surface du théorème de Gauss devient

afin de tenir compte explicitement de ces trois surfaces.

            Le vecteur champ électrique est, dans la région qui nous intéresse, perpendiculaire à l'axe de symétrie. Or les vecteurs surfaces infimes des disques de gauche comme de droite sont parallèles à l'axe de symétrie. Il s'ensuit que l'angle que font les vecteurs champ et surface infime est un angle droit, dans le cas du disque de gauche

et dans le cas du disque de droit

et donc que leur produit scalaire est nul, alors que dans le cas du court cylindre, où les vecteurs surfaces infimes sont perpendiculaires à l'axe de symétrie, leur produit scalaire

est donné par le produit de leurs grandeurs.

            Notre équation (2.9.1) devient

après avoir tenu compte des équations (2.9.2), (2.9.3) et (2.9.4).

            Nous avons vu que la grandeur du champ électrique est constante sur notre court cylindre de rayon r et de courte longueur ℓ . Notre dernière équation devient

puisque la surface d'un cylindre est de 2 π r ℓ .

            Nous venons donc de calculer, pour le cas d'un cylindre chargé uniformément en surface, le terme intégrale de surface du théorème de Gauss, pour un point situé sur une droite perpendiculaire à son axe de symétrie et qui passe par son centre. Ce terme est le même que le point soit situé à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface chargée.

a) cas du champ électrique à l’extérieur du cylindre chargé en surface

            Si le rayon r de la surface cylindrique coaxiale de l'enceinte est plus grand que le rayon R du cylindre chargé, il s'ensuit que la charge Q_in englobée par l'enceinte est une partie de la charge Q du cylindre chargé, donnée par

puisque la partie du cylindre chargé englobée par l'enceinte n'est qu'une courte longueur ℓ de sa longueur L .

            Le théorème de Gauss nous donne

grâce aux équations (2.9.6) et (2.9.7). Isoler la grandeur du champ électrique nous donne

après simplification et à l'aide de l'équation (2.6.5).

b) cas du champ électrique à la surface du cylindre chargé superficiellement

            Le champ électrique externe, à la surface du cylindre chargé, est trouvé en remplaçant le rayon r par celui du cylindre chargé lui-même R

et en remarquant que la surface du cylindre chargé est 2 π r L .

c) cas du champ électrique à l’intérieur du cylindre chargé superficiellement

Cas du champ à l’intérieur du cylindre

            Si le rayon r de la surface cylindrique coaxiale de l'enceinte est plus petit que le rayon R du cylindre chargé, il s'ensuit que la charge Q_in englobée par l'enceinte est nulle comme la charge Q du cylindre chargé lui est extérieure.

            Le théorème de Gauss nous donne

puisque la charge interne est nulle. Isoler la grandeur du champ électrique

montre bien que celui-ci est nul, comme trouvé expérimentalement dans notre section 1.8 pour un conducteur cylindrique chargé.

            Nous avons bien remarqué que nos résultats ne sont pas valables n'importe où dans l'espace qui entoure notre cylindre de charges mais seulement là où le cylindre apparaît, somme toute, infiniment long.

2.10 Champ électrique d'un disque épais uniformément chargé

            Utilisons le théorème de Gauss pour calculer le champ électrique dû à un disque d'épaisseur e et de rayon R qui excède de beaucoup son épaisseur, et dont la charge Q , supposée positive, est répartie uniformément sur sa surface, en un point P , situé à une distance r de son centre O , sur une droite perpendiculaire à son axe de symétrie et passant par son centre.

            Coulomb avait montré, avec son plan d'épreuve, que c'est uniformément que la charge se répartit sur un disque épais dont le rayon excède de beaucoup l'épaisseur. Elle se retrouve donc pratiquement toute sur ses deux surfaces en forme de disque, de rayon R , éloignées l'une de l'autre d'une distance e . Il s'ensuit que la charge Q_S trouvée sur chacune des deux surfaces chargées est Q / 2 , soit la moitié de la charge du disque.

            Considérons indépendamment ces deux surfaces chargées et donc, cherchons le champ électrique que chacune cause. Nous appliquerons ensuite le principe de superposition pour calculer le champ électrique résultant, celui qui est dû à ces deux surfaces.

Direction du champ électrique résultant

            Cherchons donc la valeur du champ électrique à une distance r du centre O d'un des deux disques chargés sans épaisseur. Considérons la charge dq trouvée en un point A quelconque sur sa surface. Celle-ci cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb, soit, dans notre cas, notre équation (1.15.1). Abaissons du point A une droite qui passe par O . Continuons-la, d'une même longueur: nous voici au point B de la surface chargée. La charge dq qui s'y trouve cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb. Le champ, dû à la charge en B , a la même grandeur que celui dû à la charge en A puisque la distance entre les points A et P est la même qu'entre les points B et P . Les angles θ sous-tendus sont les mêmes, mais l'un a une composante vers la droite alors que l'autre a une composante vers la gauche. Il s'ensuit que le vecteur champ résultant de cette paire de charges infimes est le long de la droite passant par les points O et P . Or, toute charge dq trouvée dans la région gauche de la surface chargée a un opposé placé symétriquement dans la région droite, puisque les points choisis ici sont arbitraires. Il s'ensuit que le vecteur champ électrique résultant, dû à toutes les paires de charges infimes formant la charge du disque, est le long de la droite passant par les points O et P .

            La charge placée sur la surface du disque chargé y est répartie uniformément. Un léger déplacement, à partir du point P jusqu'au point Q , sur un trajet perpendiculaire à l'axe de symétrie est l'équivalent d'un léger déplacement du disque chargé perpendiculairement à son axe de symétrie. Ce déplacement ne change pas appréciablement le champ électrique tant et aussi longtemps que les angles sous-tendus par ses extrémités au point P n'ont pas changé appréciablement: en tel cas, le champ électrique résultant est, somme toute, encore le long de la droite qui passe par les points O et P , et la somme des vecteurs champ électrique infimes donne, somme toute, la même valeur. (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un léger déplacement le long d'un disque lumineux tant et aussi longtemps que l'on reste proche de la région centre de celui-ci.)

            Il s'ensuit que la grandeur du champ électrique a essentiellement la même valeur sur un disque parallèle au disque chargé, tant et aussi longtemps qu'il est de rayon fort court comparé à celui du disque chargé et qu'il a même centre que lui; et que la direction du vecteur champ électrique y est essentiellement parallèle au vecteur surface infime local.

Surface de Gauss

            Considérons le point M , situé à même distance r du point centre O que le point P , mais de l'autre côté du disque chargé. Le vecteur champ électrique résultant va y être le long de la droite reliant les point O à P par les arguments vus plus haut. Et sa grandeur est la même qu'au point P , situé à même distance, puisque chaque parcelle de charge dq qui cause tel effet sur le champ en P cause un même effet en M .

            Il s'ensuit que le champ électrique est le même et constant sur deux disques parallèles au disque chargé si ceux-ci sont de court rayon et situés à même distance de son centre.

            Fermons ces deux disques, de même court rayon, par un cylindre, de longueur 2 r . Le vecteur surface de ces disques est le long de l'axe de symétrie du disque chargé alors que celui du cylindre lui est perpendiculaire. L'ensemble cylindre et disques forme une boîte de conserve, ce que nous avons vu être une enceinte.

            La surface de notre enceinte, notre boîte de conserve, comprend en fait trois surfaces: la surface A_c du cylindre court, celle du disque supérieur A_s et celle du disque inférieur A_f . Le terme intégrale de surface du théorème de Gauss devient

afin de tenir compte explicitement de ces trois surfaces.

            Le vecteur champ électrique est, dans la région qui nous intéresse, parallèle à l'axe de symétrie. Or les vecteurs surfaces infimes des disques supérieur et inférieur sont parallèles à l'axe de symétrie. Il s'ensuit que l'angle que font les vecteurs champ et surface infime est un angle nul, dans le cas du disque supérieur

et dans le cas du disque inférieur

et donc que leur produit scalaire est donné par le produit de leurs grandeurs, alors que dans le cas du cylindre, où les vecteurs surfaces infimes sont perpendiculaires à l'axe de symétrie, leur produit scalaire

est nul.

            Notre équation (2.10.1) devient

après avoir tenu compte des équations (2.10.2), (2.10.3) et (2.10.4).

            Nous avons vu que la grandeur du champ électrique est constante et identique sur nos deux disques de court rayon placés à même distance du centre. Notre dernière équation devient

puisque la grandeur des deux surfaces A est identique.

Champ électrique proche de la surface

            Nous venons donc de calculer, pour le cas d'un disque chargé uniformément en surface, le terme intégrale de surface du théorème de Gauss pour un point situé sur une droite parallèle à son axe de symétrie et qui passe par son centre.

a) cas du champ proche d’une surface plane

            La charge Q_in englobée par l'enceinte est une partie de la charge Q_S du disque chargé, donnée par

puisque la partie du disque chargé englobée par l'enceinte n'est qu'une faible partie A de sa surface π R ² .

            Le théorème de Gauss nous donne

grâce aux équations (2.10.6) et (2.10.7). Isoler la grandeur du champ électrique nous donne

après simplification.

            Nous venons donc de trouver la grandeur du champ électrique dû à une charge Q_S répartie uniformément sur la surface d'un disque: celle-ci ne varie pas selon la distance au disque. Le sens du champ est perpendiculaire à la surface chargée et s'en éloigne si la charge est positive. Remarquons bien que notre résultat est valable uniquement dans l'espace entourant le disque chargé où celui-ci apparaît comme de rayon infini.

champ d’un disque chargé

            Remarquons que le champ électrique que crée cette surface est perpendiculaire à celle-ci. Elle est donc une surface équipotentielle. Remarquons de plus que ses charges ne subissent pas ce champ électrique: celui-ci existe en dehors de la surface chargée et non sur celle-ci. Dit autrement, une charge n'agit pas sur elle-même.

b) cas du champ électrique d’un disque chargé

            Rappelons-nous que notre problème original consistait en deux de ces surfaces chargées, éloignées l'une de l'autre par l'épaisseur e du disque conducteur. Puisque la densité de charge σ de chacune est la même, chacune cause un champ électrique de grandeur E identique. Le signe des charges placées sur chaque surface est le même.

            Le champ électrique E_s , au point F , dû à la surface chargée supérieure, est vers le haut si celle-ci est chargée positivement; tout comme celui dû à la surface chargée inférieure E_f . Le champ résultant E_R en F , vers le haut, est donc

            Le champ électrique E_s , au point G , dû à la surface chargée supérieure est vers le bas si celle-ci est chargée positivement; tout comme celui dû à la surface chargée inférieure E_f . Le champ résultant E_R en G , vers le bas, est encore donné par notre équation (2.10.10).

            Le champ électrique E_s , au point H , dû à la surface chargée supérieure est vers le bas si celle-ci est chargée positivement; alors que celui dû à la surface chargée inférieure E_f est , lui, vers le haut. Le champ résultant E_R en H est donc

nul. Le champ résultant est donc nul dans le conducteur lui-même, ce qui ne devrait plus nous surprendre.

2.11 Champ électrique de deux disques de charges opposées

            Considérons maintenant deux disques conducteurs de même rayon R et de même axe de symétrie, chacun portant la même charge Q , mais l'une positive alors que l'autre est négative. Le champ électrique d'une plaque cause alors une force électrique qui attire vers elle les charges de l'autre plaque. Il s'ensuit que les charges des deux disques conducteurs vont se placer uniquement sur leurs surfaces qui se font face.

            Nous avons déjà trouvé la grandeur du champ électrique dû à chacune de ces deux surfaces chargées; elle est donnée par notre équation (2.10.9). Il ne nous reste maintenant qu'à appliquer à ce nouveau problème le principe de superposition.

            Le champ électrique E_s , au point F , dû à la surface supérieure chargée positivement, est vers le haut: celui, au même point, dû à la surface inférieure chargée négativement, E_f est vers le bas. Le champ résultant E_R , en F , est donc

nul. Le champ électrique résultant au point G est

nul également. Le champ électrique au point H , entre les deux disques, est

où le signe ne fait qu'indiquer que le champ résultant est, dans notre cas, vers le bas.

            Le champ électrique est, ici encore, nul à l'intérieur des disques conducteurs eux-mêmes; mais c'est uniquement dans la région de l'espace entre les deux surfaces chargées qu'il n'est pas nul.

            Le champ électrique sur chacune des deux surfaces chargées n'est pas nul; mais il n'est pas égal à celui dans la région de l'espace entre celles-ci, non plus. Cherchons le champ électrique sur la surface supérieure. Nous avons vu que la surface inférieure cause partout dans son voisinage son champ électrique E_f , donné par l'équation (2.10.9): elle le cause donc là où est la surface supérieure. Mais cette dernière, avons-nous vu, ne cause pas de champ électrique là où elle est, sur elle-même, mais seulement ailleurs. Le champ électrique résultant à la surface chargée supérieure est donc uniquement celui de l'autre surface chargée, soit σ / 2 ε₀ .

2.12 La différence de potentiel entre deux surfaces planes chargées

            Nous venons de calculer qu'entre deux plaques planes, parallèles et identiques, l'une chargée positivement et l'autre négativement, avec des charges identiques au signe près, il existe un champ électrique, constant, donné par notre équation (2.11.3). Ce champ est, en tout point de cette région, perpendiculaire aux surfaces planes chargées. Nous avons vu que chacune des deux surfaces chargées est une équipotentielle. Toute surface, parallèle à celles-ci, dans cette zone, l'est également puisqu'elle est perpendiculaire au champ qui s'y trouve. Calculons la différence de potentiel entre deux de celles-ci, à l'aide de notre équation (2.1.2),

appliquée sur un trajet perpendiculaire aux surfaces chargées, restreint à la zone limitée par les deux surfaces chargées et partant de la surface chargée négativement.

            La différence de potentiel entre la surface équipotentielle trouvée à une distance s de la surface chargée négativement donne d'abord

puisque les vecteurs champ électrique et élément de parcours sont de sens opposés; puis

puisque la grandeur du champ électrique E_R est constant; et finalement

vu l'équation (2.11.3) considérée en valeur absolue.

            La convention, dans ce cas bien particulier, est que le potentiel de la surface chargée négativement est nul. Il s'ensuit que le potentiel à une distance s de celle-ci est

et que le potentiel de la surface chargée positivement, est

puisque celle-ci est à une distance d de la surface chargée négativement.

2.13 Champ électrique proche d'une surface chargée

            Nous avons trouvé, dans trois cas différents, que le champ électrique juste à l'extérieur de la surface d'un conducteur chargé est donné par sa densité superficielle divisée par la permittivité du vide. Voyons maintenant que cela est toujours le cas.

            Remarquons premièrement que le fluide électrique, qui constitue la densité de charge, est toujours placé superficiellement sur le conducteur, comme l'a montré Coulomb. Et qu'il est au repos. Puisque le champ électrique cause un mouvement du fluide électrique sur le conducteur dans sa direction, il s'ensuit que le champ électrique est nul le long de la surface du conducteur si le fluide électrique est au repos, ce qui est certes le cas. La surface du conducteur est donc une surface équipotentielle.

            Priestley a montré que la force électrique est nulle à l'intérieur d'un conducteur (évidé); il s'ensuit que le champ électrique doit être nul partout à l'intérieur du conducteur. Tout le volume compris par le conducteur est une région équipotentielle.

Direction du champ électrique et surface de Gauss

            Si la surface chargée du conducteur est une équipotentielle, il s'ensuit que le vecteur champ électrique, juste à l'extérieur de celle-ci, doit lui être perpendiculaire.

            Considérons comme enceinte une très petite boîte de conserve, telle que son axe de symétrie soit perpendiculaire à la surface chargée au point d'intérêt P . Sa surface supérieure A_s , parallèle à la surface chargée au point P, est juste à l'extérieur du conducteur. Sa surface inférieure A_f , parallèle également à la surface chargée au point P , est juste dans le conducteur chargé. Ces surfaces planes sont si petites que la surface A de la surface chargée qu'englobe la boîte de conserve apparaît comme plane et sa densité superficielle locale σ , constante, également considérée positive.

            La surface de notre enceinte, notre boîte de conserve, comprend en fait les trois surfaces déjà mentionnées. Le terme intégrale de surface du théorème de Gauss devient

afin de tenir compte explicitement de ces trois surfaces.

            Le terme intégrale sur la surface supérieure donne

puisque le vecteur champ électrique est, sur cette surface, parallèle à son vecteur élément de surface ; il donne, sur la surface inférieure,

puisque le champ électrique est nul à l'intérieur du conducteur; et finalement, sur la surface cylindrique,

puisque, dans la région à l'extérieur du conducteur, le vecteur champ électrique est perpendiculaire à la surface chargée alors que le vecteur élément de surface du cylindre est parallèle à celle-ci, et puisque, à l'intérieur du conducteur, le champ électrique est nul.

            Notre équation (2.13.1) devient

après avoir tenu compte des équations (2.13.2), (2.13.3) et (2.13.4).

            Nous avons vu que la grandeur du champ électrique est constante sur la surface supérieure A_s . Notre dernière équation devient

puisque la grandeur de celle-ci est A .

            Nous venons donc de calculer le terme intégrale de surface du théorème de Gauss pour un point situé proche de la surface d'un conducteur.

            La charge Q_in , englobée par l'enceinte, est donnée par

puisque la surface chargée englobée par l'enceinte a une grandeur A et une densité superficielle σ .

            Le théorème de Gauss nous donne

grâce aux équations (2.13.6) et (2.13.7). Isoler la grandeur du champ électrique nous donne

après simplification.

            Nous venons donc de trouver que la grandeur du champ électrique juste à l'extérieur d'une surface chargée conductrice est proportionnelle à la densité de charge superficielle locale σ .

2.14 L'effet de pointes

            Franklin, avons-nous vu dans notre premier chapitre, montra en 1747 que c'est à la pointe d'un conducteur que s'écoule le fluide électrique. Voyons maintenant pourquoi.

Densité superficielle de charges

            Considérons un conducteur de forme telle qu'il s'y trouve une région de grand rayon de courbure R₁ et une autre de rayon de courbure beaucoup plus faible R₂. Ce conducteur est au même potentiel V . Notre équation (2.8.3) , qui donne une relation entre le potentiel d'un conducteur de rayon R et sa densité superficielle de charge σ , devient

puisque le potentiel est le même dans les deux régions. Il s'ensuit que la densité superficielle de charge dans la région de faible rayon de courbure

est plus grande que celle de la région de grand rayon de courbure dans le rapport des grand sur petit rayon, comme l'avait mesuré Coulomb.

            La densité superficielle de charges à une pointe peut être facilement cent fois plus grande que sur la sphère où elle se trouve puisque son rayon de courbure peut facilement être cent fois plus petit. Il s'ensuit de notre équation (2.13.9) que le champ électrique à la pointe, directement proportionnel à sa densité,

est cent fois plus grand. Or nous savons que c'est là où le champ électrique est le plus grand que le fluide électrique va couler le plus facilement. Voici donc expliqué le pouvoir des pointes examiné par Franklin et appliqué par la suite dans le paratonnerre.

            Tous les résultats trouvés dans ce chapitre, surtout trouvés ici avec le théorème de Gauss, ont été découlés autrement par Poisson en 1813.

2.15 Électromètre à plateaux

            Mais comment mesurer le potentiel? Nous avons vu qu'un ensemble conducteur isolé est tout entier au même potentiel. Relions donc à l'aide d'un fil conducteur l'objet conducteur dont nous cherchons le potentiel V à un grand plateau métallique isolé du sol: le plateau en question et l'objet conducteur sont alors au même potentiel V . Relions maintenant à la terre un second plateau, identique et parallèle au premier, et séparé de lui par une courte distance d .

            Pour qu'il se trouve cette différence de potentiel V entre nos deux plateaux, ceux-ci doivent recevoir des charges, de l'objet conducteur dans le cas du plateau qui lui est relié, et de la terre par induction dans le cas de l'autre. Des charges opposées se placent alors sur leurs surfaces les plus rapprochées. La différence de potentiel V est alors donnée par

notre équation (2.12.5) qui la relie à leur densité superficielle σ et qui s'applique, avons-nous vu, dans leur région centrale, loin des bouts.

            La densité de charge σ , trouvée dans la région centrale des deux plateaux et requise pour avoir cette différence de potentiel,

peut maintenant être donnée en fonction de cette dernière.

            Nous avons également trouvé que la grandeur du champ électrique E_f exercé par le plateau inférieur sur l'autre dans toute sa région centrale est

donnée par notre équation (2.10.9). Or la charge q_A trouvée sur le plateau supérieur dans sa région centrale est de

si sa surface est A . Il s'ensuit que la force électrique subie par cette surface est

alors proportionnelle à la grandeur de celle-ci et au carré de sa densité superficielle de charge. Mais la force électrique F_e peut être réécrite en termes du potentiel V du plateau supérieur

Électromètre à plateaux

par notre équation (2.15.2).

            L'électromètre à plateaux, mis au point par sir William Thomson, lord Kelvin (1824-1907) en 1855, comprend donc deux grands plateaux parallèles qui doivent être maintenus à une distance d l'un de l'autre. Le plateau conducteur inférieur A, fixe, soutenu par un support conducteur S, est ainsi relié à la terre. Le plateau supérieur, relié à l'objet dont le potentiel doit être mesuré, est composé de deux sections: un disque conducteur mobile C de surface A , suspendu par trois fils au bras L d'une balance, et un anneau conducteur B relié également à l'objet. C'est donc la force électrique F_e trouvée plus haut qui s'exerce sur le disque mobile C.

            Il faut donc, pour maintenir le disque mobile C exactement à la même distance d du plateau fixe A de telle sorte que l'anneau B et lui ne forment qu'un seul plateau, exercer sur lui une force F_a

égale et opposée à la force électrique déjà trouvée.

            Le potentiel V est calculé une fois mesurée la force appliquée F_a

pour une distance d et une surface A connues spécifiques à l'électromètre utilisé. La valeur de ce potentiel est déterminée numériquement seulement une fois que la valeur de la permittivité du vide ait été déterminée par le système d'unités choisi.

            L'anneau B qui entoure le disque C lorsque ce dernier est à sa distance normale d du plateau inférieur A est dit anneau de garde: il est là pour que la région où s'applique la force électrique soit bien la région centrale où nos équations sont correctes. Un modèle d'électromètre sans anneau de garde est produit bien avant, en 1834, par Snow Harris.

            Nous voici finalement avec une méthode pour mesurer la valeur du potentiel. Et remarquons bien qu'elle n'arrive que relativement tard.

2.16 Énergie potentielle électrique

            Le concept d'énergie, fut-elle cinétique ou potentielle, n'est développé que lentement. Lazare Nicolas Marguerite Carnot (1753-1827) arrive au principe de conservation du travail et de l'énergie mécanique, utilisant des termes différents des nôtres, dans son Essai sur les machines en général écrit en 1803. Le terme énergie potentielle lui-même n'est introduit qu'en 1853 par William Rankine (1820-1872).

            Une force mécanique F_a , appliquée sur un corps sur une distance infime ds , nécessite par définition un travail infime dW

donné par le produit scalaire de ces deux vecteurs.

            Ce travail infime dW ne change pas l'énergie cinétique K du corps si la force mécanique appliquée F_a est égale mais de sens opposé à la somme des autres forces que le corps subit, puisque la force résultante sur le corps est alors nulle. En quel cas, le corps ne subit pas d'accélération et donc ne change pas de vitesse. Son énergie cinétique reste donc constante. Dans notre cas, cela implique que la force mécanique appliquée F_a est égale mais de sens opposé à la force électrique F_e , force donnée par notre équation (1.12.2). Mais alors le travail infime accompli dW ne peut ici que changer son énergie potentielle électrique U_e , et ce, d'une valeur infime dU_e égale à celui-ci

et qui peut être écrit comme le produit de la charge q par le changement de son potentiel électrique dV avec notre équation (2.1.2). L'énergie potentielle électrique U_e elle-même est donc

le produit du potentiel électrique V en ce point fois la charge q qui s'y trouve. Et le travail requis W pour déplacer une charge d'un point à un autre, donné par la différence des énergies potentielles U_e

qu'elle subit en ces deux points, que nous avons également réécrites en termes des potentiels.

            Si, d'une part, nous notons V la différence des potentiels final et initial, et si, d'autre part, la charge que nous déplaçons entre ces points dont la différence de potentiel est V , est une charge infime dQ , son énergie potentielle infime change d'une valeur infime dU_e

donnée par le produit de la valeur de sa charge infime dQ par la différence V des potentiels final et initial selon notre équation (2.16.4).

2.1       Quel est le champ électrique d'une sphère conductrice dont la charge est de +5 μC et le rayon est de 20 mm, en un point situé à

       a) 5 mm de son centre?

       b) 20,01 mm de son centre?

       c) 50 mm de son centre?

2.2       La charge d'un fil conducteur mince de 200 mm de longeur est de +2 μC. Quel est son champ électrique en un point à 2 mm de son centre, sur une droite perpendiculaire à celui-ci?

2.3       Un cylindre conducteur creux a une charge de + 50 μC, une longueur de 600 mm et un rayon de 40 mm. Quel est son champ électrique en un point sur une droite, perpendiculaire à son axe de symétrie et qui passe par son centre géométrique, point qui se trouve à

       a) 20 mm de ce dernier?

       b) 50 mm de ce dernier?

2.4       Quel est le champ électrique d'un disque mince conducteur, de charge + 5 μC et de rayon 100 mm, en un point situé sur son axe de symétrie à 5 mm de son centre?

2.5       Une charge de + 50 μC est déposée sur une feuille d'or carrée, de 20 μm d'épaisseur et de 500 mm de côté. Quel est le champ électrique en un point situé sur une droite perpendiculaire à la feuille qui passe par son centre géométrique, à

       a) 5 mm au-dessus de la feuille d'or?

       b) 5 μm en-dedans de la feuille d'or?

2.6       Deux plaques de cuivre parallèles l'une à l'autre ont chacune une surface de 0,2 m par 0,2 m, une épaisseur de 2 mm et une charge de +20 μC. Elles sont séparées par 16 mm; la distance entre les surfaces externes est donc de 20 mm. Quel est le champ électrique en un point situé sur la droite passant par les centres géométriques de chacune, point situé, par rapport au centre géométrique de l'ensemble, à une distance de

       a) 2 mm?

       b) 9 mm?

       c) 12 mm?

2.7       Un modèle électrique de l'atome d'hydrogène comprend une charge ponctuelle de +1,6⋅10^-19 C, son proton, au centre d'une sphère de charge -1,6⋅10^-19 C dont le rayon est de 10^-10 m, son nuage électronique. Quel est le champ électrique de cet atome à

       a) 10^-14 m de son centre?

       b) 10^-9 m de son centre?

2.8       Une sphère métallique creuse, de 40 mm de rayon, possède une charge de + 1 μC. Une seconde, concentrique et de 100 mm de rayon, possède une charge de - 1 μC. Quel est le champ électrique en un point situé à

       a) 50 mm de leur centre commun?

       b) 200 mm de leur centre commun?

2.9       Deux cylindres métalliques coaxiaux de 1,2 m de longueur ont respectivement des charges de +2 μC et -2 μC, et des rayons de 20 mm et 50 mm. Quel est le champ électrique en un point situé sur la droite, perpendiculaire à leur axe commun de symétrie, qui passe par leur centre géométrique commun, et qui se trouve à la distance

       a) de 10 mm de ce dernier?

       b) de 40 mm de ce dernier?

       c) de 80 mm de ce dernier?

2.10     Deux cylindres métalliques coaxiaux de 1,2 m de longueur ont respectivement des densités de charges de +2 μC/m² et -2 μC/m², et des rayons de 15 mm et 45 mm. Quel est le champ électrique en un point situé sur la droite, perpendiculaire à leur axe commun de symétrie, qui passe par leur centre géométrique commun, et qui se trouve à la distance

       a) de 10 mm de ce dernier?

       b) de 25 mm de ce dernier?

       c) de 50 mm de ce dernier?

2.11     Deux charges, de +5 μC et de -3 μC, se trouvent à 50 mm l'une de l'autre. Une troisième charge, de +4 μC, est amenée (de l'infini) à un point distant de 90 mm de la charge de +5 μC et 40 mm de la charge de -3 μC. Quel travail a requis ce déplacement?

2.12     Une charge de +16 μC est située à 20 mm à droite d'une charge de -2 μC; et une autre, de -4 μC, est située à 10 mm en dessous de la charge de -2 μC. Quel est le potentiel électrique là où se trouve la charge de - 2 μC?

2.13     Quel est le travail requis pour prendre une charge de + 2 μC, située initialement en un point à une distance de 50 mm d'une charge de + 5 μC, et la mener en un point situé à une distance de 40 mm de la même charge de +5 μC?

2.14     Le plateau mobile, de 0,016 m² de surface, est à 5 mm du plateau fixe d'un électromètre. S'il est maintenu à cette distance par une force mécanique de 1,02 mN, quelle est la différence de potentiel entre ces plateaux?

2.15     La surface du plateau mobile d'un électromètre est de 0,02 m². Quelle force mécanique est requise pour maintenir le plateau mobile à 4 mm du plateau fixe si la différence de potentiel entre ceux-ci est de 800 V?