2.1 Le potentiel électrique
Le vecteur champ électrique d'une charge ponctuelle q est donné, avons-nous vu, par notre équation (1.12.1)
où le sens du vecteur unité va de la charge q vers le point où nous désirons évaluer le champ électrique, son point d'application est ce dernier point, et r est la distance entre ce point et la charge ponctuelle.
La fonction V , dite potentiel électrique, est définie de telle sorte que celle-ci varie d'une différence infime dV , entre les positions s1 et s2 , donnée par
le produit scalaire du vecteur champ électrique par le vecteur déplacement infime qui va de la position s1 à la position s2 . Le vecteur champ électrique est considéré constant sur ce déplacement puisque ce dernier est infime. Le potentiel de la position s2 est plus petit que celui de la position s1 si le produit scalaire des deux vecteurs est positif.
Nous sommes en mesure de déterminer les unités de la fonction potentiel électrique, puisqu'elle dépend du produit d'un champ électrique par une distance. Comme le champ électrique est en N / C et la distance est en m , il s'ensuit que les unités de la fonction sont des N m / C , soit des J / C , notés V , pour volts. Nous verrons plus tard pourquoi pareille nomenclature.
Il ressort de notre équation (2.1.2) que le potentiel électrique ne varie pas entre les positions s1 et s2 si le vecteur déplacement infime qui va de la première à la seconde est perpendiculaire au vecteur champ électrique local. Les deux positions en question sont donc au même potentiel, comme toutes les positions intermédiaires trouvées sur le segment ds , d'ailleurs.
Une surface infime dA peut être construite perpendiculaire à un vecteur qui a son point d'application là où elle se trouve. Il s'ensuit donc que toutes les positions trouvées sur cette surface sont au même potentiel si le vecteur en question est le vecteur champ électrique. Pareille surface est dite équipotentielle.
Considérons deux surfaces équipotentielles rapprochées, l'une dont la valeur du potentiel est V1 , l'autre dont la valeur du potentiel est V2 . Le vecteur champ électrique, avons-nous vu, est toujours perpendiculaire à celles-ci. Nous pouvons donc déduire de celles-ci la direction du vecteur champ électrique et son sens: le vecteur champ électrique est perpendiculaire aux équipotentielles rapprochées et va de celle dont la valeur est la plus grande à celle dont la valeur est la plus faible. Et sa grandeur est donnée par
le quotient de leur différence de valeur infime dV de leurs potentiels par la distance infime ds qui sépare les équipotentielles.
Voilà comment Lagrange utilisait sa fonction: il calculait d'abord les surfaces équipotentielles, puis, à partir d'elles, le vecteur force gravitationnelle. Mais comment calculait-il la position de ces surfaces?