2.10 Champ électrique d'un disque épais uniformément chargé

            Utilisons le théorème de Gauss pour calculer le champ électrique dû à un disque d'épaisseur e et de rayon R qui excède de beaucoup son épaisseur, et dont la charge Q , supposée positive, est répartie uniformément sur sa surface, en un point P , situé à une distance r de son centre O , sur une droite perpendiculaire à son axe de symétrie et passant par son centre.

            Coulomb avait montré, avec son plan d'épreuve, que c'est uniformément que la charge se répartit sur un disque épais dont le rayon excède de beaucoup l'épaisseur. Elle se retrouve donc pratiquement toute sur ses deux surfaces en forme de disque, de rayon R , éloignées l'une de l'autre d'une distance e . Il s'ensuit que la charge Q_S trouvée sur chacune des deux surfaces chargées est Q / 2 , soit la moitié de la charge du disque.

            Considérons indépendamment ces deux surfaces chargées et donc, cherchons le champ électrique que chacune cause. Nous appliquerons ensuite le principe de superposition pour calculer le champ électrique résultant, celui qui est dû à ces deux surfaces.

Direction du champ électrique résultant

            Cherchons donc la valeur du champ électrique à une distance r du centre O d'un des deux disques chargés sans épaisseur. Considérons la charge dq trouvée en un point A quelconque sur sa surface. Celle-ci cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb, soit, dans notre cas, notre équation (1.15.1). Abaissons du point A une droite qui passe par O . Continuons-la, d'une même longueur: nous voici au point B de la surface chargée. La charge dq qui s'y trouve cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb. Le champ, dû à la charge en B , a la même grandeur que celui dû à la charge en A puisque la distance entre les points A et P est la même qu'entre les points B et P . Les angles θ sous-tendus sont les mêmes, mais l'un a une composante vers la droite alors que l'autre a une composante vers la gauche. Il s'ensuit que le vecteur champ résultant de cette paire de charges infimes est le long de la droite passant par les points O et P . Or, toute charge dq trouvée dans la région gauche de la surface chargée a un opposé placé symétriquement dans la région droite, puisque les points choisis ici sont arbitraires. Il s'ensuit que le vecteur champ électrique résultant, dû à toutes les paires de charges infimes formant la charge du disque, est le long de la droite passant par les points O et P .

            La charge placée sur la surface du disque chargé y est répartie uniformément. Un léger déplacement, à partir du point P jusqu'au point Q , sur un trajet perpendiculaire à l'axe de symétrie est l'équivalent d'un léger déplacement du disque chargé perpendiculairement à son axe de symétrie. Ce déplacement ne change pas appréciablement le champ électrique tant et aussi longtemps que les angles sous-tendus par ses extrémités au point P n'ont pas changé appréciablement: en tel cas, le champ électrique résultant est, somme toute, encore le long de la droite qui passe par les points O et P , et la somme des vecteurs champ électrique infimes donne, somme toute, la même valeur. (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un léger déplacement le long d'un disque lumineux tant et aussi longtemps que l'on reste proche de la région centre de celui-ci.)

            Il s'ensuit que la grandeur du champ électrique a essentiellement la même valeur sur un disque parallèle au disque chargé, tant et aussi longtemps qu'il est de rayon fort court comparé à celui du disque chargé et qu'il a même centre que lui; et que la direction du vecteur champ électrique y est essentiellement parallèle au vecteur surface infime local.

Surface de Gauss

            Considérons le point M , situé à même distance r du point centre O que le point P , mais de l'autre côté du disque chargé. Le vecteur champ électrique résultant va y être le long de la droite reliant les point O à P par les arguments vus plus haut. Et sa grandeur est la même qu'au point P , situé à même distance, puisque chaque parcelle de charge dq qui cause tel effet sur le champ en P cause un même effet en M .

            Il s'ensuit que le champ électrique est le même et constant sur deux disques parallèles au disque chargé si ceux-ci sont de court rayon et situés à même distance de son centre.

            Fermons ces deux disques, de même court rayon, par un cylindre, de longueur 2 r . Le vecteur surface de ces disques est le long de l'axe de symétrie du disque chargé alors que celui du cylindre lui est perpendiculaire. L'ensemble cylindre et disques forme une boîte de conserve, ce que nous avons vu être une enceinte.

            La surface de notre enceinte, notre boîte de conserve, comprend en fait trois surfaces: la surface A_c du cylindre court, celle du disque supérieur A_s et celle du disque inférieur A_f . Le terme intégrale de surface du théorème de Gauss devient

afin de tenir compte explicitement de ces trois surfaces.

            Le vecteur champ électrique est, dans la région qui nous intéresse, parallèle à l'axe de symétrie. Or les vecteurs surfaces infimes des disques supérieur et inférieur sont parallèles à l'axe de symétrie. Il s'ensuit que l'angle que font les vecteurs champ et surface infime est un angle nul, dans le cas du disque supérieur

et dans le cas du disque inférieur

et donc que leur produit scalaire est donné par le produit de leurs grandeurs, alors que dans le cas du cylindre, où les vecteurs surfaces infimes sont perpendiculaires à l'axe de symétrie, leur produit scalaire

est nul.

            Notre équation (2.10.1) devient

après avoir tenu compte des équations (2.10.2), (2.10.3) et (2.10.4).

            Nous avons vu que la grandeur du champ électrique est constante et identique sur nos deux disques de court rayon placés à même distance du centre. Notre dernière équation devient

puisque la grandeur des deux surfaces A est identique.

Champ électrique proche de la surface

            Nous venons donc de calculer, pour le cas d'un disque chargé uniformément en surface, le terme intégrale de surface du théorème de Gauss pour un point situé sur une droite parallèle à son axe de symétrie et qui passe par son centre.

a) cas du champ proche d’une surface plane

            La charge Q_in englobée par l'enceinte est une partie de la charge Q_S du disque chargé, donnée par

puisque la partie du disque chargé englobée par l'enceinte n'est qu'une faible partie A de sa surface π R ² .

            Le théorème de Gauss nous donne

grâce aux équations (2.10.6) et (2.10.7). Isoler la grandeur du champ électrique nous donne

après simplification.

            Nous venons donc de trouver la grandeur du champ électrique dû à une charge Q_S répartie uniformément sur la surface d'un disque: celle-ci ne varie pas selon la distance au disque. Le sens du champ est perpendiculaire à la surface chargée et s'en éloigne si la charge est positive. Remarquons bien que notre résultat est valable uniquement dans l'espace entourant le disque chargé où celui-ci apparaît comme de rayon infini.

champ d’un disque chargé

            Remarquons que le champ électrique que crée cette surface est perpendiculaire à celle-ci. Elle est donc une surface équipotentielle. Remarquons de plus que ses charges ne subissent pas ce champ électrique: celui-ci existe en dehors de la surface chargée et non sur celle-ci. Dit autrement, une charge n'agit pas sur elle-même.

b) cas du champ électrique d’un disque chargé

            Rappelons-nous que notre problème original consistait en deux de ces surfaces chargées, éloignées l'une de l'autre par l'épaisseur e du disque conducteur. Puisque la densité de charge σ de chacune est la même, chacune cause un champ électrique de grandeur E identique. Le signe des charges placées sur chaque surface est le même.

            Le champ électrique E_s , au point F , dû à la surface chargée supérieure, est vers le haut si celle-ci est chargée positivement; tout comme celui dû à la surface chargée inférieure E_f . Le champ résultant E_R en F , vers le haut, est donc

            Le champ électrique E_s , au point G , dû à la surface chargée supérieure est vers le bas si celle-ci est chargée positivement; tout comme celui dû à la surface chargée inférieure E_f . Le champ résultant E_R en G , vers le bas, est encore donné par notre équation (2.10.10).

            Le champ électrique E_s , au point H , dû à la surface chargée supérieure est vers le bas si celle-ci est chargée positivement; alors que celui dû à la surface chargée inférieure E_f est , lui, vers le haut. Le champ résultant E_R en H est donc

nul. Le champ résultant est donc nul dans le conducteur lui-même, ce qui ne devrait plus nous surprendre.