2.13 Champ électrique proche d'une surface chargée

            Nous avons trouvé, dans trois cas différents, que le champ électrique juste à l'extérieur de la surface d'un conducteur chargé est donné par sa densité superficielle divisée par la permittivité du vide. Voyons maintenant que cela est toujours le cas.

            Remarquons premièrement que le fluide électrique, qui constitue la densité de charge, est toujours placé superficiellement sur le conducteur, comme l'a montré Coulomb. Et qu'il est au repos. Puisque le champ électrique cause un mouvement du fluide électrique sur le conducteur dans sa direction, il s'ensuit que le champ électrique est nul le long de la surface du conducteur si le fluide électrique est au repos, ce qui est certes le cas. La surface du conducteur est donc une surface équipotentielle.

            Priestley a montré que la force électrique est nulle à l'intérieur d'un conducteur (évidé); il s'ensuit que le champ électrique doit être nul partout à l'intérieur du conducteur. Tout le volume compris par le conducteur est une région équipotentielle.

Direction du champ électrique et surface de Gauss

            Si la surface chargée du conducteur est une équipotentielle, il s'ensuit que le vecteur champ électrique, juste à l'extérieur de celle-ci, doit lui être perpendiculaire.

            Considérons comme enceinte une très petite boîte de conserve, telle que son axe de symétrie soit perpendiculaire à la surface chargée au point d'intérêt P . Sa surface supérieure A_s , parallèle à la surface chargée au point P, est juste à l'extérieur du conducteur. Sa surface inférieure A_f , parallèle également à la surface chargée au point P , est juste dans le conducteur chargé. Ces surfaces planes sont si petites que la surface A de la surface chargée qu'englobe la boîte de conserve apparaît comme plane et sa densité superficielle locale σ , constante, également considérée positive.

            La surface de notre enceinte, notre boîte de conserve, comprend en fait les trois surfaces déjà mentionnées. Le terme intégrale de surface du théorème de Gauss devient

afin de tenir compte explicitement de ces trois surfaces.

            Le terme intégrale sur la surface supérieure donne

puisque le vecteur champ électrique est, sur cette surface, parallèle à son vecteur élément de surface ; il donne, sur la surface inférieure,

puisque le champ électrique est nul à l'intérieur du conducteur; et finalement, sur la surface cylindrique,

puisque, dans la région à l'extérieur du conducteur, le vecteur champ électrique est perpendiculaire à la surface chargée alors que le vecteur élément de surface du cylindre est parallèle à celle-ci, et puisque, à l'intérieur du conducteur, le champ électrique est nul.

            Notre équation (2.13.1) devient

après avoir tenu compte des équations (2.13.2), (2.13.3) et (2.13.4).

            Nous avons vu que la grandeur du champ électrique est constante sur la surface supérieure A_s . Notre dernière équation devient

puisque la grandeur de celle-ci est A .

            Nous venons donc de calculer le terme intégrale de surface du théorème de Gauss pour un point situé proche de la surface d'un conducteur.

            La charge Q_in , englobée par l'enceinte, est donnée par

puisque la surface chargée englobée par l'enceinte a une grandeur A et une densité superficielle σ .

            Le théorème de Gauss nous donne

grâce aux équations (2.13.6) et (2.13.7). Isoler la grandeur du champ électrique nous donne

après simplification.

            Nous venons donc de trouver que la grandeur du champ électrique juste à l'extérieur d'une surface chargée conductrice est proportionnelle à la densité de charge superficielle locale σ .