2.2 Potentiel électrique d'une charge ponctuelle

            Nous savons, par notre équation (2.1.1), que le vecteur champ électrique d'une charge ponctuelle q est radial (soit le long de rayons qui en émanent). Or, toute surface sphérique centrée sur la charge ponctuelle q est perpendiculaire en tout point aux droites qui émanent de cette charge pour arriver à ce point de la surface sphérique. Il s'ensuit que toute surface infime dA composant la surface sphérique centrée sur la charge est perpendiculaire au vecteur champ électrique qui y a son point d'application; et donc que toute surface sphérique centrée sur la charge ponctuelle est une équipotentielle.

            Dans le cas d'une charge ponctuelle, la différence infime dV entre les potentiels des points très rapprochés s₁ et s₂ trouvés sur les équipotentielles sphériques concentriques V₁ et V₂ est donnée par nos équations (2.1.2) et (2.1.1), soit

La différence entre les potentiels des points éloignés s_o et s_f trouvés sur les surfaces équipotentielles sphériques V_o et V_f est donnée en faisant la somme (ou plus exactement l'intégrale) des différences infimes sur le parcours qui les sépare, soit la somme des dV de notre équation précédente

La solution de l'intégrale de gauche de cette équation est

la différence des potentiels propres aux surfaces finale et initiale.

            Celle de droite est plus difficile à résoudre. Nous allons choisir, comme le montrent nos croquis, un parcours sur lequel les vecteurs et sont de même sens. Le produit scalaire de deux vecteurs a comme résultat la grandeur de chacun fois le cosinus de l'angle qui les sépare. Cet angle est nul quand les deux vecteurs sont de même sens. Et la grandeur du cosinus d'un angle nul est l'unité. De plus, la grandeur du vecteur unité est également l'unité. Quant à la grandeur du changement de position ds , elle n'est alors rien d'autre, comme le montrent nos croquis, que l'accroissement dr de la grandeur de la distance r entre la charge ponctuelle q et la position qui, ici, varie d'une équipotentielle à l'autre. Nous avons donc

Notre équation (2.2.2) devient, grâce à nos équations (2.2.3) et (2.2.4)

Les termes k_e q , trouvés sous le signe somme de l'intégrale, sont des constantes: ils peuvent donc être mis en facteur, sortis du signe somme de l'intégrale. Le terme de droite s'intègre alors facilement et devient

Appelons r_o la distance r entre la première surface sphérique équipotentielle V_o considérée et la charge ponctuelle q ; et de même, r_f la distance r entre la dernière surface sphérique équipotentielle V_f et la charge ponctuelle q . Notre dernière équation devient alors

La différence de potentiel entre les deux équipotentielles sphériques situées à des distances données de la charge ponctuelle est donc donnée par la différence de deux termes semblables, ne différant que par la valeur de la distance à la charge en question.

            Le potentiel (et non plus la différence de potentiel) d'une de ces surfaces sphériques n'a donc pas une valeur spécifique. En effet l'équation

est sa solution générale, puisque la constante, qui apparaît à la fois dans V_o et dans V_f , va s'annuler lors du calcul de la différence de potentiel entre les deux surfaces.

            Le potentiel d'une surface équipotentielle située à l'infini de la charge ponctuelle est alors égal à cette constante, comme r égale alors l'infini (dont le symbole est ∞):

            Le potentiel d'une surface équipotentielle d'une charge ponctuelle située à l'infini est, par convention, décrété nul. Il s'ensuit de cette convention que la valeur de la constante est nulle également et que le potentiel d'une surface équipotentielle située à une distance r d'une charge ponctuelle q est

            Voilà le résultat analogue à celui qu'avait calculé Lagrange pour sa fonction V dans le cas de la force gravitationnelle en 1777. La différence principale, trouvée par Poisson en 1811, est que la charge ponctuelle peut être ou positive ou négative, alors que la masse ponctuelle, elle, n'est que positive. Le potentiel électrique d'une charge ponctuelle est donc négatif dans le cas d'une charge négative et positif dans le cas d'une charge positive.