2.3 Potentiel résultant (charges ponctuelles)

            Nous avons vu dans notre section 1.14 que le vecteur champ électrique résultant est donné par la somme vectorielle des vecteurs champs électriques considérés indépendamment. Nous venons de voir que la différence de potentiel électrique infime dV se calcule à l'aide du vecteur champ électrique. Il s'ensuit que la différence de potentiel électrique infime résultant dV_R se calcule à l'aide du vecteur champ électrique résultant , lequel est donné par la somme vectorielle des champs électriques considérés indépendamment, que nous analysons ici dans le cas de deux vecteurs champs électriques et

Or le produit scalaire est commutatif; notre équation devient alors

Il s'ensuit que la différence de potentiel infime résultante est donnée par la somme des différences de potentiel dues à chaque champ électrique considéré séparément.

            La différence de potentiel entre deux surfaces équipotentielles éloignées est donnée par la somme des différences de potentiel, puisque l'intégrale d'une somme est égale à la somme des intégrales:

Or chaque différence de potentiel, due à chaque champ électrique considéré séparément, est donnée par notre équation (2.2.7). Le potentiel, dû à chaque charge ponctuelle considérée séparément, est donc donné par notre équation (2.2.10). Il s'ensuit que le potentiel résultant V_R est donné par la somme des potentiels dûs à chaque charge q considérée séparément. Le principe de superposition s'applique donc encore ici.

            Notre dernière équation nous permet de calculer le potentiel en un point dû à un nombre fini de charges ponctuelles. C'est ainsi que Lagrange calculait en 1777 l'effet de plusieurs astres sur un autre, en calculant le potentiel dû à chacun séparément. Notre dernière équation, trouvée en 1811 par Poisson, diffère tout de même du potentiel de Lagrange du fait que la charge électrique peut être ou positive ou négative, alors que la masse n'est que positive.

Considérons le cas de trois charges ponctuelles, de + 15 μC, - 50 μC et de - 10 μC telles que placées sur le diagramme ci-contre. Cherchons le potentiel électrique résultant là où se trouve la charge de - 10 μC. Nous remarquons que la première charge est positive. Son potentiel est donné par notre équation (2.2.10) avec la valeur de la constante déjà connue. La charge en question est de 15⋅10^-6 C et la distance est de 30⋅10^-3 m. Ce qui donne ici 4,5 MV.

Comme la charge de - 50 μC est négative, son potentiel électrique est négatif. Sa valeur est donnée par notre équation (2.210) avec la valeur de la charge en question de - 50⋅10^-6 C et la distance, de 50⋅10^-3 m. Ce qui donne ici - 9,0 MV.

Nous avons maintenant à tenir compte des deux potentiels électriques. Le potentiel électrique résultant est de - 4,5 MV soit ( + 4,5 MV - 9,0 MV).