2.6 Le théorème de Gauss
Nous avons trouvé qu'une charge ponctuelle q possède des surfaces équipotentielles sphériques, centrées sur elle, comme son vecteur champ électrique est radial selon notre équation (2.1.1). Ces surfaces sphériques concentriques sont des enceintes, comme elles enferment bien un volume. Nous pouvons donc en calculer le flux électrique net φe n à l'aide de notre équation (2.5.5).
Le vecteur surface infime de chaque dalle infime de notre sphère concentrique a donc, comme point d'application, la dalle infime et son sens va en s'éloignant de la charge ponctuelle q , pour que celui-ci soit vers l'extérieur de la région qu'il enferme. Le sens du vecteur champ électrique de la charge ponctuelle, à la dalle infime, est le même si la charge est positive, sans quoi il va de la dalle infime vers la charge.
Supposons pour le moment que la charge ponctuelle soit positive. Dans ce cas, les vecteurs champ électrique et surface infime sont de même sens: leur produit scalaire est donc donné simplement par la grandeur de chaque vecteur
Or tous les points de la sphère centrée sur la charge sont à même distance r de celle-ci. Il s'ensuit que la grandeur de son champ électrique, donnée par le terme devant le vecteur unité dans notre équation (2.1.1), est une constante sur cette surface. Nous pouvons donc mettre cette constante en facteur devant notre intégrale.
Or la somme des surfaces infimes dA qui, ensemble, composent la surface A , donne justement cette dernière. Et la surface en question est celle d'une sphère de rayon r , soit 4πr 2 où π est la lettre grecque pi minuscule.
Remplaçons maintenant la grandeur du vecteur champ électrique par sa valeur trouvée dans l'équation (2.1.1). Le flux électrique net devient alors
Remarquons tout de suite que le signe du flux électrique net est celui de la charge ponctuelle. Ceci était prévisible comme les vecteurs surface infime et champ électrique d'une charge ponctuelle positive sont de même sens: s'éloignant tous deux de la charge. Leur produit scalaire est donc positif. Ces deux vecteurs sont de sens opposés si la charge est négative, puisque le vecteur champ électrique va alors vers la charge, alors que le vecteur surface infime s'en éloigne.
Définissons la permittivité du vide ε0 (la lettre grecque ε est la lettre epsilon minuscule) comme
qui donne 8,85⋅10 - 12 C 2 / N m 2 , puisque la valeur de ke est de 9,0⋅10 9 N m 2 / C 2 . Notre équation du flux électrique net dû à une charge ponctuelle, dans le cas d'une sphère centrée sur celle-ci, devient alors
Remarquons bien que, jusqu'ici, la démonstration de ce théorème repose sur le choix que nous avons fait de notre enceinte; que nos arguments exigent que notre enceinte soit une sphère centrée sur notre charge ponctuelle; sans quoi nos calculs seraient faux. Mais remarquons de plus que notre résultat trouvé ne dépend pas du rayon de l'enceinte sphérique centrée sur la charge ponctuelle.
Considérons donc deux enceintes, toutes deux des sphères centrées sur la charge ponctuelle; l'une de rayon r1 , très petit, et l'autre de rayon r2 . Le flux électrique net qui traverse chacune est le même. Il s'ensuit que le volume, compris dans l'enceinte de rayon r2 non compris dans l'enceinte de rayon r1 , n'a pas d'effet sur le flux net de l'enceinte de rayon r2 . Si cela est le cas, il suffit qu'une enceinte, quelle que soit sa forme, comprenne en son intérieur l'enceinte sphérique de rayon r1 pour que son flux net soit identique à celui qui traverse l'enceinte sphérique de rayon r1.
Nous avons donc établi que le flux net dû à une charge ponctuelle est donné par notre équation (2.6.6) quelle que soit la forme de l'enceinte, du moment que celle-ci la contienne.
Nous avons déjà vu que le principe de superposition s'applique au vecteur champ électrique. Ce principe, faut-il le rappeler, dit que le vecteur champ électrique résultant en un point est donné par la somme des vecteurs champs électriques dûs aux charges, prises une à une. Nous venons de calculer le flux électrique net dû à une première charge. Nous pouvons, de la même façon, trouver le flux électrique net dû à une seconde, puis une troisième et ainsi de suite et ce, que ces charges soient vraiment ponctuelles, ou, en fait, des parcelles de charges infimes dq . Le flux net résultant est donné par la somme des flux nets individuels, soit par la somme des charges Qi n
comprises à l'intérieur du volume fermé par l'enceinte choisie sur la permittivité du vide. Cette équation constitue le résultat du théorème de Gauss, trouvé en 1839 par Carl Friedrich Gauss (1777-1855), et qui constitue une autre forme du théorème trouvé par Poisson en 1813. C'est elle que nous allons utiliser pour trouver le vecteur champ électrique dû à plusieurs configurations de charges.