2.7 Champ électrique d'une sphère chargée uniformément

            Utilisons donc le théorème de Gauss pour calculer le champ électrique dû à une sphère de rayon R dont la charge Q , supposée positive, est répartie uniformément sur sa surface. Coulomb avait montré que c'est ainsi que la charge se répartit sur un conducteur sphérique, comme nous avons vu dans notre section 1.15.

Direction du champ électrique résultant

            Cherchons d'abord la valeur de ce champ en un point P à l'extérieur de celle-ci, situé à une distance r de son centre O . Considérons la charge dq trouvée au point A sur la sphère chargée. Celle-ci cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb, soit, dans notre cas, notre équation (1.15.1). Abaissons, du point A , une perpendiculaire à la droite qui passe par les points O et P : celle-ci intercepte la sphère chargée au point B . La charge dq qui s'y trouve cause, également en P , un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb. Ce champ, dû à la charge en B, a la même grandeur que celui dû à la charge en A comme la distance entre les points A et P est la même qu'entre les points B et P . Les angles θ sous-tendus sont les mêmes, mais l'un a une composante vers le haut alors que l'autre a une composante vers le bas. Il s'ensuit que le vecteur champ résultant de cette paire de charges infimes est le long de la droite passant par les points O et P . Or, toute charge dq trouvée dans l'hémisphère nord de la sphère chargée a un opposé placé symétriquement dans l'hémisphère sud, comme les points choisis ici sont arbitraires. Il s'ensuit que le vecteur champ électrique résultant, dû à toutes les paires de charges infimes formant la sphère chargée, est le long de la droite passant par les points O et P .

            La charge placée sur la sphère y est répartie uniformément. Il s'ensuit qu'une rotation de celle-ci par rapport à son point centre géométrique O ne change pas la valeur du champ résultant en P comme on y trouve encore des parcelles de charge identiques placées à telle distance du point en question. Or, l'équivalent de la rotation de la sphère chargée par rapport à son centre est un déplacement, à partir du point P , le long d'une circonférence centrée sur le point O . Il s'ensuit que le champ électrique doit avoir même grandeur pour tous les points trouvés à même distance du point centre O que le point P . (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un déplacement autour d'un globe lumineux tant et aussi longtemps que la distance au globe ne change pas.) La grandeur du champ électrique est donc invariante face à une rotation par rapport au centre géométrique de la sphère chargée uniformément: elle est donc constante sur une sphère qui lui est concentrique.

            Remarquons tout de suite que les arguments que nous venons de donner s'appliquent tout aussi bien à un point P qui est à l'intérieur de la sphère chargée qu'au point que nous avons considéré, à l'extérieur de celle-ci.

Cas à l’extérieur de la sphère

            Choisissons comme enceinte A une sphère concentrique dont la surface comprend le point P . Calculons la valeur de l'intégrale de surface du théorème de Gauss pour celle-ci. Le champ électrique au point P , un point quelconque de sa surface, est radial. Son vecteur surface infime dA , de même. Et les deux sont vers l'extérieur si, comme sur notre croquis, la charge est positive. Nous avons alors

puisque les deux vecteurs sont de même sens.

            Puisque notre enceinte est une sphère concentrique, la grandeur du vecteur champ électrique y est constante. Le champ électrique peut donc être mis en facteur devant le signe intégrale dans notre équation précédente. Elle devient donc

puisque l'intégrale des parcelles de surface donne la surface de notre sphère, soit 4 π r ² .

            Ce dernier résultat est basé sur les considérations de symétrie qui, avons-nous vu, s'appliquent aussi bien à un point P placé à l'intérieur de la sphère chargée qu'au point examiné. Il s'ensuit qu'il est vrai pour toute enceinte sphérique concentrique, intérieure ou extérieure à la sphère chargée.

a) cas du champ électrique à l’extérieur de la sphère chargée

            Si l'enceinte sphérique concentrique à la sphère, dont la charge Q est répartie uniformément sur sa surface, a un rayon r plus grand que celui de la sphère chargée R , il s'ensuit que celle-ci l'englobe entièrement. Le théorème de Gauss nous donne alors

puisqu'en pareil cas la charge Q_in , trouvée en son intérieur, n'est rien d'autre que toute la charge de la sphère chargée, soit Q . Isoler la grandeur du champ électrique et utiliser l'équation (2.6.5) nous permet de trouver, lorsque celle-ci est la même que dans le cas d'une charge ponctuelle:

Cas du champ à l’intérieur

quoique la charge Q est ici répartie sur une sphère de rayon R . Le théorème de Gauss nous permet donc de trouver que le champ électrique, à l'extérieur d'une sphère chargée uniformément, en un point situé à une distance r de son centre, est le même que celui d'une charge ponctuelle, de même valeur, situé en ce point centre, où, en fait, il n'y a pas de charge.

b) cas du champ électrique à l’intérieur de la sphère

            Si l'enceinte sphérique, concentrique à la sphère dont la charge Q est répartie uniformément sur sa surface, a un rayon r plus petit que celui de la sphère chargée R , il s'ensuit que celle-ci ne l'englobe pas du tout. Le théorème de Gauss nous donne alors

puisqu'en pareil cas la charge Q_in trouvée en son intérieur est nulle. Isoler la grandeur du champ électrique nous permet de trouver

un champ nul à l'intérieur de la sphère de rayon R . Le théorème de Gauss nous permet donc de trouver que le champ électrique est nul partout à l'intérieur d'une sphère chargée uniformément.

c) cas du champ électrique à la surface de la sphère

            La grandeur du champ électrique peut se réécrire, à partir de notre équation (2.7.4), dans le cas extrême où le rayon considéré est tout juste plus grand que celui de la sphère chargée, soit pratiquement R ,

puisque la densité superficielle de charge σ est donnée par la charge Q totale, uniformément répartie sur la surface de la sphère chargée 4 π R ² , divisée par cette dernière. Le champ électrique, trouvé par calcul à partir du théorème de Gauss à la surface de la sphère chargée, est donc proportionnel à la densité superficielle qui s'y trouve. Nous avions vu, dans notre section 1.8, qu'une charge placée à l'intérieur d'un conducteur creux ne subit aucune force, et donc aucun champ électrique. Et le théorème de Gauss vient de nous permettre de calculer que le champ électrique est nul à l'intérieur de la sphère conductrice dont la charge est répartie uniformément en surface.