2.9 Champ électrique d'un cylindre uniformément chargé

            Utilisons le théorème de Gauss pour calculer le champ électrique dû à un cylindre de rayon R , de longueur L qui excède de beaucoup ce rayon, dont la charge Q , supposée positive, est répartie uniformément sur sa surface; ce, en un point P , situé à une distance r de son centre O , sur une droite perpendiculaire à son axe de symétrie et passant par son centre.

            Coulomb avait montré, avec son plan d'épreuve, que c'est uniformément que la charge se répartit sur un conducteur cylindrique dont la longueur excède de beaucoup le rayon.

Direction du champ électrique résultant

            Cherchons d'abord la valeur de ce champ à une distance r plus grande que le rayon R du cylindre chargé. Considérons la charge dq trouvée en un point A quelconque sur le cylindre chargé. Celle-ci cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb soit, dans notre cas, notre équation (1.15.1). Abaissons du point A une perpendiculaire au plan qui contient les points O et P et qui est perpendiculaire à l'axe de symétrie du cylindre: celle-ci intercepte le plan en question en C . Continuons, d'une même longueur, la droite qui contient les point A et C : nous voici au point B du cylindre chargé. La charge dq qui s'y trouve cause en P un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb. Le champ, dû à la charge en B , a la même grandeur que celui dû à la charge en A puisque la distance entre les points A et P est la même qu'entre les points B et P . Les angles θ sous-tendus sont les mêmes, mais l'un a une composante vers la droite alors que l'autre a une composante vers la gauche. Il s'ensuit que le vecteur champ résultant de cette paire de charges infimes est le long de la droite passant par les points O et P . Or toute charge dq trouvée dans la région gauche du cylindre chargé a un opposé placé symétriquement dans la région droite, comme les points choisis ici sont arbitraires. Il s'ensuit que le vecteur champ électrique résultant, dû à toutes les paires de charges infimes formant la charge du cylindre, est le long de la droite passant par les points O et P .

            La charge, placée sur le cylindre chargé, y est répartie uniformément. Il s'ensuit qu'une rotation de celui-ci par rapport à son axe de symétrie ne change pas la valeur du champ électrique résultant en P puisqu'on y trouve encore des parcelles de charge identiques placées à telle distance du point en question. Or l'équivalent de la rotation du cylindre chargé par rapport à son axe de symétrie est un déplacement, à partir du point P , le long d'une circonférence coaxiale au cylindre. Il s'ensuit que le champ électrique doit avoir même grandeur pour tous les points, trouvés à même distance de l'axe de symétrie, que le point P . (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un déplacement autour d'un tube lumineux tant et aussi longtemps que la distance au tube ne change pas.) La grandeur du champ électrique est donc invariante face à une rotation par rapport à l'axe de symétrie du cylindre chargé uniformément: elle est donc constante sur un cercle qui lui est coaxial.

            Un léger déplacement, à partir du point P , sur un trajet parallèle à l'axe de symétrie est l'équivalent d'un léger déplacement du cylindre chargé le long de son axe de symétrie. Ce déplacement ne change pas appréciablement le champ électrique tant et aussi longtemps que les angles sous-tendus par ses extrémités au point P n'ont pas changé appréciablement: en tel cas, le champ électrique résultant est, somme toute, encore le long de la droite qui passe par les points O et P , et la somme des vecteurs champ électriques infimes donne, somme toute, la même valeur. (Tout comme l'intensité lumineuse ne change pas lors d'un léger déplacement le long de l'axe d'un tube lumineux tant et aussi longtemps que l'on reste proche de la région centre de celui-ci.)

            Il s'ensuit que la grandeur du champ électrique a essentiellement la même valeur sur une surface cylindrique coaxiale au cylindre chargé, tant et aussi longtemps qu'elle est fort courte comparée au cylindre chargé et qu'elle a même centre que lui; et que la direction du vecteur champ électrique y est essentiellement parallèle au vecteur surface infime local.

Cas du champ à l’extérieur

            Fermons à l'aide de deux disques plans ce court cylindre, dont le rayon est r et dont la longueur ℓ est de beaucoup inférieure à la longueur L du cylindre chargé. Le vecteur surface de ces disques est alors le long de l'axe de symétrie du cylindre chargé. L'ensemble cylindre et disques forme une boîte de conserve, ce que nous avons vu être une enceinte.

            Nous allons utiliser le théorème de Gauss dans le cas de cette boîte de conserve pour calculer le champ électrique au point P . Remarquons tout de suite que nos raisonnements sont aussi valables pour un point P , situé sur la droite perpendiculaire à l'axe de symétrie qui passe par le point centre O , à l'intérieur de celui-ci autant qu'à l'extérieur.

            La surface de notre enceinte, notre boîte de conserve, comprend en fait trois surfaces: la surface A_c du cylindre court, de rayon r et de courte longueur ℓ , celle du disque de gauche A_g et celle du disque de droite A_d . Le terme intégrale de surface du théorème de Gauss devient

afin de tenir compte explicitement de ces trois surfaces.

            Le vecteur champ électrique est, dans la région qui nous intéresse, perpendiculaire à l'axe de symétrie. Or les vecteurs surfaces infimes des disques de gauche comme de droite sont parallèles à l'axe de symétrie. Il s'ensuit que l'angle que font les vecteurs champ et surface infime est un angle droit, dans le cas du disque de gauche

et dans le cas du disque de droit

et donc que leur produit scalaire est nul, alors que dans le cas du court cylindre, où les vecteurs surfaces infimes sont perpendiculaires à l'axe de symétrie, leur produit scalaire

est donné par le produit de leurs grandeurs.

            Notre équation (2.9.1) devient

après avoir tenu compte des équations (2.9.2), (2.9.3) et (2.9.4).

            Nous avons vu que la grandeur du champ électrique est constante sur notre court cylindre de rayon r et de courte longueur ℓ . Notre dernière équation devient

puisque la surface d'un cylindre est de 2 π r ℓ .

            Nous venons donc de calculer, pour le cas d'un cylindre chargé uniformément en surface, le terme intégrale de surface du théorème de Gauss, pour un point situé sur une droite perpendiculaire à son axe de symétrie et qui passe par son centre. Ce terme est le même que le point soit situé à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface chargée.

a) cas du champ électrique à l’extérieur du cylindre chargé en surface

            Si le rayon r de la surface cylindrique coaxiale de l'enceinte est plus grand que le rayon R du cylindre chargé, il s'ensuit que la charge Q_in englobée par l'enceinte est une partie de la charge Q du cylindre chargé, donnée par

puisque la partie du cylindre chargé englobée par l'enceinte n'est qu'une courte longueur ℓ de sa longueur L .

            Le théorème de Gauss nous donne

grâce aux équations (2.9.6) et (2.9.7). Isoler la grandeur du champ électrique nous donne

après simplification et à l'aide de l'équation (2.6.5).

b) cas du champ électrique à la surface du cylindre chargé superficiellement

            Le champ électrique externe, à la surface du cylindre chargé, est trouvé en remplaçant le rayon r par celui du cylindre chargé lui-même R

et en remarquant que la surface du cylindre chargé est 2 π r L .

c) cas du champ électrique à l’intérieur du cylindre chargé superficiellement

Cas du champ à l’intérieur du cylindre

            Si le rayon r de la surface cylindrique coaxiale de l'enceinte est plus petit que le rayon R du cylindre chargé, il s'ensuit que la charge Q_in englobée par l'enceinte est nulle comme la charge Q du cylindre chargé lui est extérieure.

            Le théorème de Gauss nous donne

puisque la charge interne est nulle. Isoler la grandeur du champ électrique

montre bien que celui-ci est nul, comme trouvé expérimentalement dans notre section 1.8 pour un conducteur cylindrique chargé.

            Nous avons bien remarqué que nos résultats ne sont pas valables n'importe où dans l'espace qui entoure notre cylindre de charges mais seulement là où le cylindre apparaît, somme toute, infiniment long.