4.3 Loi de Biot et Savart
Laplace examine en 1820 les résultats, trouvés par Biot et Savart, qui donnent l'équation du champ magnétique dû à un long fil rectiligne, notre équation (4.1.5). Il cherche à déterminer le vecteur champ magnétique infime d'un segment quelconque infime, de longueur dL , situé à une distance r d'un point donné.
Il sait qu'un segment, de longueur infime dL , d'un fil mince de longueur L portant uniformément une charge q , cause, à une distance r d'un point, un vecteur champ électrique infime donné par la loi de Coulomb
avec la charge infime écrite en terme de la longueur infime du segment considéré. Ce champ infime diverge du segment infime qui le crée si sa charge est positive. Il peut, par intégration, montrer que le champ électrique produit par la ligne de charge complète est bel et bien donné par notre équation (2.9.9), ce que nous avons montré à l’aide du théorème de Gauss.
Laplace suppose, pour le vecteur champ magnétique infime , une équation analogue mais qui tient compte du sens du vecteur champ magnétique résultant: non pas selon le vecteur unité comme dans le cas du vecteur champ électrique infime mais selon le produit vectoriel des vecteurs courant qui traverse le segment infime et le vecteur unité qui va de ce dernier au point où il cherche à évaluer le champ magnétique
puisque le sens du vecteur champ magnétique résultant est donné par la rotation du vecteur courant vers le vecteur unité . Ce champ magnétique infime décrit alors des cercles dont l'axe est la direction de son vecteur courant .
Cette dernière équation, trouvée par Laplace en 1820, porte le nom de loi de Biot et Savart. Laplace montre que, s'il somme les contributions infimes dues à chaque segment de longueur infime dL d'un long fil rectiligne, il obtient bien, par intégration, l'équation expérimentale de Biot et Savart, notre équation (4.1.5), ce que nous ne ferons pas ici.
Le flux magnétique φm qui traverse une surface est
la somme, sur toute la surface A , des produits scalaires des vecteurs champ magnétique par les vecteurs surface infime .
Le flux magnétique net φm n est celui
qui traverse une enceinte.
Considérons une enceinte sphérique centrée sur le segment infime de longueur dL parcouru par un courant I . Le champ magnétique décrit, sur cette enceinte, des cercles qui ont la direction du vecteur courant I comme axe. Il s'ensuit que le champ magnétique ne traverse jamais cette enceinte et donc que
le flux magnétique net qui traverse cette enceinte est nul, puisque le champ magnétique ne diverge pas du segment infime de courant, mais est en rotation autour de l'axe donné par la direction de son courant.
Cela est vrai quelle que soit la dimension de l'enceinte sphérique, si celle-ci a le segment infime pour centre. Il s'ensuit que le flux magnétique net doit être nul pour une enceinte de forme différente, si elle est comprise entre les deux autres qui sont, elles, sphériques et concentriques. Et, ce qui est vrai pour un segment infime de courant doit être vrai pour toute configuration de courant, par le principe de superposition. Le flux magnétique net, la loi de Gauss appliquée au champ magnétique, donne zéro pour toute enceinte. Ce n'est donc pas de cette façon que nous allons pouvoir calculer le champ magnétique d'une configuration de courant.
La loi de Biot et Savart permet de calculer le vecteur champ magnétique dû à n'importe quelle configuration de courant. Celle-ci, vectorielle comme la loi de Coulomb, est difficile d'utilisation. Aussi allons-nous nous contenter de l'utiliser sans modifications seulement dans un cas relativement simple.