4.8 Champ magnétique d'un conducteur rectangulaire

             Conducteur rectangulaire

            Considérons une longue plaque, de longueur L et de section rectangulaire, dont l'épaisseur e est faible lorsque comparée à sa largeur a , dans laquelle circule, uniformément dans toute sa section, un courant I . Appelons surface de symétrie la surface parallèle aux surfaces de longueur L et de largeur a qui comprend le point centre O de la plaque. Cette surface de symétrie se trouve à diviser cette longue plaque en deux sections de même grandeur.

Sens des champs magnétiques

            Calculons, à l'aide du théorème d'Ampère, le champ magnétique de cette plaque, au point P , situé à une distance r du centre géométrique O , sur une droite passant par ce point O et perpendiculaire au plan de symétrie. La loi de Biot et Savart détermine le sens et la grandeur du vecteur champ magnétique infime causé par un segment de courant quelconque; or, pour chaque segment de courant A de la partie droite de la section de la plaque, il en existe un, B , placé symétriquement dans la partie gauche, qui cause un vecteur champ magnétique infime de même grandeur mais de sens différent. La somme vectorielle de toutes ces paires de vecteurs champ magnétique infime est perpendiculaire à la droite passant par les points O et P .

            Une faible translation de la plaque dans le sens de sa largeur ne change guère la distribution de son courant et donc le champ magnétique résultant au point P . L'équivalent de cette courte translation de la plaque selon sa largeur est un déplacement sur un court trajet dans le sens de sa largeur. Le champ magnétique de la plaque est donc constant sur ce court déplacement.

            Considérons un point M , situé sur le prolongement de la droite qui passe par les points O et P , point à même distance r de O que le point P mais en dessous de la plaque plutôt qu'au-dessus. Il existe dans la plaque un segment de courant qui joue, pour M , le même rôle que joue A pour P . Il s'ensuit que la grandeur du champ résultant en M doit être la même qu'en P ; et que celle sur un court segment, le long de la largeur de la plaque, passant par M , doit être la même que celle sur le court segment, le long de la largeur de la plaque, passant par P .

Circuit “externe”

            Le circuit choisi est un rectangle dont le centre géométrique est O . Sa base, le long de la largeur de la plaque, est une courte longueur ℓ . Sa hauteur, une longueur 2 r . Il est parcouru dans un sens tel que le vecteur surface de la surface plane délimitée par lui est dans le même sens que le vecteur courant qui traverse la section de la plaque.

            La circulation magnétique C_m pour le circuit choisi

se développe en quatre termes, correspondants aux quatre tronçons du rectangle. La contribution de ceux perpendiculaires à la largeur de la plaque est nulle

puisque les vecteurs déplacements infimes sont perpendiculaires au vecteur champ magnétique local sur ceux-ci. La circulation magnétique C_m de ce circuit devient alors

puisque les vecteurs déplacements infimes sont parallèles au vecteur champ magnétique local sur les deux autres tronçons. Et

puisque la grandeur du champ magnétique est constante et identique sur ces deux tronçons. La circulation magnétique est finalement donnée par

deux fois le produit du champ magnétique par la longueur ℓ de chaque court tronçon parallèle à la largeur de la plaque.

a) champ magnétique externe

            Les arguments utilisés s'appliquent que le point P soit à l'intérieur ou à l'extérieur de la plaque. S'il est à l'extérieur, le courant I_t traverse la surface rectangulaire de hauteur e dont la base est celle du circuit, soit ℓ . Le courant I , lui, circule dans toute la section rectangulaire, de hauteur e et de largeur a . Le rapport de ces deux courants

est donc dans le rapport de ces deux surfaces.

            Le théorème d'Ampère, notre équation (4.6.8), devient

grâce à nos équations (4.8.5) et (4.8.6). Isoler le terme du champ magnétique

nous permet de constater que le champ magnétique est constant dans ce cas, soit tant et aussi longtemps que la plaque apparaît infinie.

Circuit interne

b) champ magnétique interne

            Si le point P est à l'intérieur de la plaque, le courant I_t qui traverse la surface délimitée par le circuit de hauteur 2r et de base ℓ est au courant total I qui traverse toute la section rectangulaire, de hauteur e et de largeur a

dans le rapport des surfaces considérées. Le théorème d'Ampère, notre équation (4.6.8), devient

grâce à nos équations (4.8.5) et (4.8.9). Isoler le terme du champ magnétique donne

une relation pour le champ qui est proportionnelle à r , la distance au point centre, à l'intérieur de la plaque.

            C'est à la surface du conducteur que son champ magnétique est maximum. Il est nul sur son plan de symétrie, le plan parallèle à sa surface et qui passe par son centre, croît linéairement en fonction de sa distance r à ce plan jusqu'à sa surface, puis est constant dans la zone externe où elle apparaît comme infinie.