4.9 Champ magnétique d'un tore

a) le tore

         tore

            Un tube tordu en forme de cercle de telle sorte que ses deux extrémités deviennent jointes est un tore. Le tore ressemble donc à un bagel (ou à un beigne à trou) sur lequel sont roulés N spires de fil conducteur isolé avec de la soie. Le tore a un axe de rotation qui passe par son point centre O , axe qui est perpendiculaire à son plan de symétrie, qui le divise en deux parties égales. Le rayon de son "trou" y est R₁ et son rayon externe, R₂ . Dans ce plan de symétrie donc, le courant électrique s'enfonce, disons, N fois là où se trouve le cercle de rayon R₂ , et ce, à intervalles réguliers; et ressort N fois là où se trouve le cercle de rayon R₁ , et ce, à intervalles réguliers sur ce cercle.

b) géométrie

            Calculons le champ magnétique produit par cette configuration de courant en un point P , situé à une distance r du point O , dans son plan de symétrie, à l'aide du théorème d'Ampère. La loi de Biot et Savart détermine le sens et la grandeur du vecteur champ magnétique infime causé par un segment de courant quelconque; or pour chaque segment de courant A de la partie supérieure du tore il en existe un, B , placé symétriquement dans la partie inférieure, qui cause un vecteur champ magnétique infime de même grandeur mais de sens différent. La somme vectorielle de toutes ces paires de vecteurs champ magnétique infime est perpendiculaire à la droite passant par les points O et P .

            Il existe, de même, pour chaque segment de courant D de la partie supérieure du tore un segment E , placé symétriquement dans la partie inférieure, qui cause un vecteur champ magnétique infime de même grandeur mais de sens différent. La somme vectorielle de toutes ces paires de vecteurs champ magnétique infime est perpendiculaire à la droite passant par les points O et P .

            Une rotation du tore sur son axe ne change en rien la distribution de son courant et donc le champ magnétique résultant au point P . L'équivalent de cette rotation du tore sur son axe est un déplacement sur un cercle coaxial. Le champ magnétique du tore est donc constant sur ce déplacement.

            Le circuit choisi est donc un cercle coaxial. La circulation magnétique C_m pour ce circuit

puisque le vecteur champ magnétique en tout point sur ce circuit est alors de même sens que le vecteur déplacement en ce point. Et

Circuit extérieur au tore

puisque la grandeur du champ magnétique est constante sur ce trajet fermé, dont la longueur est le périmètre 2 π r .

            Les arguments utilisés s'appliquent que le point P soit à l'extérieur, à l'intérieur ou dans le "trou" du tore.

c) champ magnétique à l’extérieur du tore

            S'il est à l'extérieur, le courant I_t qui traverse la surface délimitée par le circuit de rayon r n'est rien d'autre que

puisque le courant I y entre N fois et en ressort N fois.

            Le théorème d'Ampère, notre équation (4.6.8), devient

grâce à nos équations (4.9.2) et (4.9.3). Isoler le terme du champ magnétique donne

Circuit dans le “trou”

que celui-ci est nul à l'extérieur du tore.

d) champ magnétique dans le “trou” du tore

            Si le point P est à l'intérieur du trou du tore, le courant I_t qui traverse la surface délimitée par le circuit de rayon r est nul

puisqu'il n'y a pas de courant dans le trou. Le théorème d'Ampère, notre équation (4.6.8), devient

grâce à nos équations (4.9.2) et (4.9.6). Isoler le terme du champ magnétique donne

que celui-ci est nul à l'intérieur du trou.

Circuit dans le tore

E) champ magnétique dans le tore

            Si le point P est dans le tore lui-même, le courant I_t qui traverse la surface délimitée par le circuit de rayon r n'est rien d'autre que

puisque le courant I y sort N fois.

            Le théorème d'Ampère, notre équation (4.6.8), devient

grâce à nos équations (4.9.2) et (4.9.9). Isoler le terme du champ magnétique donne

que celui-ci est inversement proportionnel à la distance au centre r à l'intérieur du tore.