5.14 Circuits électriques
a) résolution de circuits complexes
Les circuits électriques sont, en général, composés de résistances, de forces électromotrices, chacune dotée d'une résistance interne, et de forces contre-électromotrices, chacune dotée de résistance interne. Alors que, dans une force électromotrice le courant va de la borne négative à la borne positive, celui-ci va de la borne positive à la borne négative dans une force contre-électromotrice. Nous verrons plus tard des exemples de chacune.
Les lois de Kirchhoff permettent de résoudre n'importe quel réseau électrique composé de ces éléments, y compris les circuits que nous avons vus jusqu'ici. Mais ceux-ci pouvaient se traiter sans elles, à l'aide des seules lois des résistances équivalentes. Mais il existe des circuits, comme ceux dont un exemple suit, qui ne peuvent se traiter ainsi. Comme la solution, dont la méthode est générale, diffère légèrement pour chaque circuit, nous allons nous contenter d'un cas particulier.
b) exemple
Le circuit qui suit ne comprend que deux embranchements: aux points b et e . Il comprend trois branches: une qui va directement de b à e ; une autre qui s'y rend en passant par a et f ; et la dernière, en passant par c et d .
La première loi de Kirchhoff stipule qu'il n'y a qu'un seul courant par branche. Le choix initial de leur sens n'a pas d'importance. Supposons celui, choisi au hasard, donné sur le croquis, et indiqué aux environs de chaque résistance du réseau. Les polarités aux bornes de chaque résistance du réseau sont maintenant fixées, puisque le courant va toujours, dans une résistance, de sa borne positive à sa borne négative.
La première loi de Kirchhoff appliquée au point b stipule que
la somme des courants qui quittent l'embranchement égale la somme des courants qui y arrivent.
La seconde loi de Kirchhoff stipule que la somme des différences de potentiel le long d'un circuit est nulle. Un circuit possible de ce réseau part de b en traversant d'abord la branche supérieure pour y revenir par la branche du milieu. La somme des différences de potentiel s'écrit alors
après avoir simplifié chaque terme par Ω, puisqu'un gain de potentiel est positif et une perte, négative. Un autre circuit possible de ce réseau part de b en traversant d'abord la branche centrale pour y revenir par la branche du bas. La somme des différences de potentiel s'écrit alors
après avoir simplifié chaque terme par Ω.
Nous voici avec trois équations à trois inconnues. L'équation (5.14.2) se simplifie en
et l'équation (5.14.3)
une fois les termes semblables mis ensemble.
La tentation à éviter est d'additionner terme à terme nos deux dernières équations pour en éliminer le courant I3. Il faut, au contraire, toujours débuter en utilisant l'équation des courants à l'embranchement. Notre équation (5.14.1) peut être utilisée dans l'équation (5.14.5) pour donner
une fois les termes semblables mis ensemble. Isoler le courant I3 de l'équation (5.14.4) permet de le remplacer dans l'équation (5.14.6) pour obtenir
qui devient
une fois les termes semblables mis ensemble. Il s'ensuit que le courant I1 est
de +2A. L'équation (5.14.6) devient à l'aide de l'équation (5.14.9)
qui donne
et permet de trouver, avec l'équation (5.14.1)
le courant manquant.
Les courants positifs sont ceux qui sont réellement dans le sens présumé. Les courants négatifs, ceux qui vont vraiment dans le sens opposé. Le sens réel des courants est indiqué sur le croquis qui suit.
Le courant va de la borne négative à la borne positive dans le cas de l'élément de 60V. C'est donc une force électromotrice. La tension à ses bornes dans le sens du courant est de (+60V - 2Ω⋅2A), soit de 56V. La puissance brute que celle-ci fournit au circuit est donnée par 60V fois 2A, soit 120W; mais sa résistance interne consomme une puissance de 2Ω fois 2A au carré, soit de 8W; sa puissance nette fournie au circuit est de 112W (120W moins 8W, ou 56V fois 2A). Le courant va de la borne positive à la borne négative dans l'élément de 15V: c'est donc une force contre-électromotrice. La tension à ses bornes dans le sens du courant est de - 1Ω⋅5A - 15V, soit - 20V. La puissance soutirée par la force contre-électromotrice elle-même est de - 15V fois 5A, soit - 75W; la puissance requise par sa résistance interne est de - 1Ω fois 5A au carré, soit - 25W. La puissance totale soutirée au circuit est de - 100W (-75W-25W, ou -20V⋅5A). Le courant va de la borne négative à la borne positive dans le cas de l'élément de 56V. C'est donc une force électromotrice. La tension à ses bornes dans le sens du courant est de (+56V - 3Ω⋅3A), soit de 47V. La puissance brute que celle-ci fournit au circuit est donnée par 56V fois 3A, soit 168W; mais sa résistance interne consomme une puissance de 3Ω fois 3A au carré, soit de 27W; sa puissance nette fournie au circuit est de 141W (168W moins 27W, ou 47V fois 3A).