6.4 Interprétation mathématique des travaux de Lenz et Faraday

            Nous avons vu que le flux magnétique φ_m est donné sous sa forme générale

par notre équation (4.3.3).

            Nous avons également vu qu'une tension est vraiment une différence de potentiel, ce qui n'est devenu apparent qu'en 1849 par le travail de Kohlrausch et Kirchhoff. Il s'ensuit alors que la grandeur de la force électromotrice ℰ

d'un circuit dont la résistance est R est, en valeur absolue, donnée par la somme des différences de potentiel dV le long du circuit entier, aux bornes de celle-ci, les points a et b , bornes qui coïncident vraiment. Les points a et b sont donc les mêmes. Notre équation peut donc se réécrire dans ce cas

où le cercle dans le signe intégrale indique que les points de départ et d'arrivée du parcours coïncident.

            Le vecteur champ électrique de cette dernière équation se trouve à indiquer le sens du vecteur courant induit qui circule dans le circuit, car nous avons vu que ces deux vecteurs ont même sens dans une résistance.

            La loi de Faraday, notre équation (6.2.1), peut se réécrire à l'aide de nos équations (6.4.1) et (6.4.3)

en tenant compte également de la règle de Lenz. Cette loi est dite loi de Lenz-Faraday. Le circuit de l'intégrale de gauche délimite la surface A sur laquelle le flux magnétique φ_m est calculé. Le sens de ses vecteurs est donné par le sens de parcours du circuit de l'intégrale de gauche à l'aide de la même règle qui nous donne le sens du champ magnétique causé par un anneau de courant.

Revenons à notre premier cas de l'anneau conducteur où le vecteur champ magnétique , sortant, augmente. Supposons le vecteur élément de surface sortant, ce qui suppose également un vecteur élément de déplacement anti-horaire dans l'anneau. Le produit scalaire de l'intégrale de droite est positif puisque les vecteurs et sont de même sens. Et, puisque le champ B augmente dans le temps, sa dérivée dans le temps dB/dt est positive. Il s'ensuit que le terme de droite est négatif puisque cette valeur positive est précédée d'un signe négatif. Le résultat de l'intégrale de droite doit donc être négatif; ce qui nécessite que les vecteurs champ électrique et élément de déplacement soient de sens opposés. Le vecteur champ électrique doit donc être horaire, ainsi que le vecteur courant . Ce que nous avons trouvé, beaucoup plus facilement, un peu plus haut.

Si le vecteur champ magnétique , sortant, diminue, le flux magnétique φ_m , positif, diminue. Sa dérivée temporelle dB/dt est donc négative. Le signe négatif qui précède ce terme fait que le résultat de l'intégrale de gauche doit être positif, ce qui exige que le vecteur champ électrique soit anti-horaire, et donc, le courant aussi. Ce que nous avions également trouvé plus haut.