7.11 La décharge d'un condensateur à travers une résistance

            Lord Kelvin considère un circuit simple composé d'un condensateur de capacité C , préalablement chargé, d'une clef de télégraphie et d'une résistance R . La clef est originellement ouverte de telle sorte qu'il n'y a pas de courant dans le circuit. Notons V₀ la tension trouvée alors aux bornes du condensateur C. Le courant ne débute qu'au moment où la clef est fermée. Considérons tout instant subséquent comme mesuré à partir de cet instant où le courant débute. La tension V_R (t) qui apparaît maintenant aux bornes de la résistance est égale à la tension V_C (t) qui se trouve aux bornes du condensateur

par la deuxième loi de Kirchhoff, qui devient

puisque le terme de gauche peut être réécrit à l'aide de la loi d'Ohm; et le terme de droite, à l'aide de l'équation (7.6.1). Le courant I (t) peut être réécrit à l'aide de l'équation (3.9.3), après avoir remarqué que, lors de la décharge, la charge Q (t) aux bornes du condensateur diminue dans le temps, ce qui fait que le terme dQ (t) / dt est négatif alors que le courant I (t) est lui, positif. Notre dernière équation peut donc s'écrire

avec le signe négatif placé devant la variation temporelle, négative, de la charge pour rendre ce terme positif.

            La dérivée temporelle de la charge aux bornes de la capacité est proportionnelle à la charge elle-même. La solution de pareille équation différentielle est la fonction exponentielle. Il s'ensuit que

est l'équation de l'évolution de la charge aux bornes du condensateur en fonction du temps dans le cas de sa décharge à travers une résistance.

            Nos équations (7.6.1) et (7.11.1) nous permettent d'établir les équations de l'évolution des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance en fonction du temps

dans le cas de la décharge à travers une résistance. Et, finalement, notre loi d'Ohm nous permet d'établir l'évolution du courant

qui circule dans la résistance en fonction du temps.

            Ces équations sont toutes analogues: l'exposant de la fonction exponentielle est le même. Dans chaque cas donc, la valeur obtenue tombe à 36,8% de la valeur initiale une fois que la valeur de l'exposant suivant le signe négatif égale l'unité, ce qui est à un temps t , mesuré à partir de l'instant où débute la décharge, qui porte le nom de constante de temps τ (la lettre grecque tau minuscule), temps

égal au produit de la capacité par la résistance.

            Le phénomène de décharge peut également se comprendre à partir du principe de conservation de l'énergie: l'énergie potentielle U_e emmagasinée dans le condensateur est dissipée dans la résistance selon la loi de Joule. Plus la résistance est grande, moins le courant qui s'écoule est fort pour une tension donnée, et donc moins la perte d'énergie électrique est grande dans un temps donné: il s'ensuit que le temps τ requis pour que la charge tombe à 36,8% de sa valeur initiale va être d'autant plus grand que la résistance est grande. Plus la capacité est grande, plus la quantité de charge à évacuer pour que celle-ci tombe à 36,8% de sa valeur initiale est grande, et donc plus le temps τ requis va être grand.

            Dans le cas du câble sous-marin, la résistance est donnée par la résistivité du cuivre du câble fois sa longueur divisée par sa section. La capacité est causée par le câble dans l'eau de mer. Ses armatures sont: la surface externe du conducteur et le coussin, alors imbibé d'eau de mer; et le diélectrique, le gutta-percha. La résistance est proportionnelle à la longueur du câble; la surface des armatures de la capacité, également. Il s'ensuit que la constante de temps du câble, est proportionnelle au carré de sa longueur.