7.12 La charge d'un condensateur à travers une résistance
Lord Kelvin considère un circuit simple composé d'un condensateur de capacité C , préalablement déchargé, d'une clef de télégraphie, d'une résistance R et d'une pile de force électromotrice ℰ . La clef est originellement ouverte de telle sorte qu'il n'y a pas de courant dans le circuit. La tension trouvée alors aux bornes du condensateur C est nulle. Le courant ne débute qu'au moment où la clef est fermée.
Considérons tout instant subséquent comme mesuré à partir de cet instant où le courant débute. La tension VR (t) qui apparaît maintenant aux bornes de la résistance est égale à la différence entre la force électromotrice ℰ et la tension VC (t) qui se trouve aux bornes du condensateur
par la deuxième loi de Kirchhoff. La tension aux bornes de la résistance VR (t) diminue alors d'autant que la tension aux bornes de la capacité VC (t) augmente,
ce qui est évidemment trouvé mathématiquement en dérivant notre équation précédente, et qui devient
puisque le terme de gauche peut être réécrit à l'aide de la loi d'Ohm; et le terme de droite, à l'aide de l'équation (7.6.1). Le courant I (t) peut être réécrit à l'aide de l'équation (3.9.3), après avoir remarqué que, lors de la charge, la charge Q (t) aux bornes du condensateur augmente dans le temps, ce qui fait que le terme dQ (t) / dt est positif tout comme le courant I (t) . Notre dernière équation peut donc s'écrire
de façon identique à notre équation (7.11.3).
La dérivée temporelle du courant est proportionnelle au courant lui-même. La solution de pareille équation différentielle est la fonction exponentielle. Il s'ensuit que
est l'équation de l'évolution du courant en fonction du temps dans le cas de la charge à travers une résistance. Le courant initial est le rapport de la force électromotrice sur la résistance puisque celle-ci est, au départ, toute entière aux bornes de la résistance. Notre loi d'Ohm nous permet d'établir l'évolution de la tension aux bornes de la résistance
en fonction du temps.
Nos équations (7.12.6) et (7.12.1) nous permettent d'établir les équations de l'évolution de la tension aux bornes du condensateur
et notre équation (7.6.1), celle de sa charge en fonction du temps
dans le cas de la charge d'un condensateur à travers une résistance.
Dans toutes ces équations, l'exposant de la fonction exponentielle est le même. Dans chaque cas donc, la valeur obtenue pour la fonction exponentielle tombe à 36,8% de la valeur initiale une fois que la valeur de l'exposant suivant le signe négatif égale l'unité, ce qui est à un temps t , mesuré à partir de l'instant où débute la charge, égal à la constante de temps τ donnée encore par le produit de la capacité par la résistance. Ce qui, pour le courant et pour la tension aux bornes de la résistance, correspond à dire que ces derniers ne sont plus, à ce moment, que 36,8% de leur valeur initiale alors que la tension aux bornes du condensateur et sa charge sont alors 63,2% de leurs valeurs maximales.
Le phénomène de charge peut également se comprendre à partir du principe de conservation de l'énergie: la force électromotrice fournit de l'énergie et pour emmagasiner de l'énergie potentielle Ue dans le condensateur et pour en voir dissiper dans la résistance selon la loi de Joule.