7.4 Calcul de l'inductance
Le calcul de l'inductance d'un circuit général est très difficile, sauf dans trois cas, relativement simples: le solénoïde, le tore et deux feuilles très minces superposées parcourues par des courants égaux mais de sens contraires.
7.4.1 Cas du solénoïde
Nous avons trouvé que le champ magnétique B d'un solénoïde de N spires roulées sur un tube de longueur b et de rayon R est nul partout sauf en son intérieur, où il est constant et parallèle à son axe de symétrie, et de valeur
donnée par notre équation (4.10.9).
Le flux magnétique qui traverse une de ses spires est
le produit du champ trouvé par l'aire A sous-tendue par une spire, puisque le champ, constant sur celle-ci, la traverse totalement.
La force électromotrice ℰS induite dans cette spire, donnée par la loi de Faraday, notre équation (7.3.1), devient donc
puisque le courant peut seul varier dans le temps.
La force électromotrice induite aux bornes du solénoïde ℰ est N fois celle induite dans une spire
puisque celles-ci sont roulées en série.
Cette dernière équation relie la force électromotrice induite aux bornes du circuit étudié, ici le solénoïde, à la variation temporelle du courant qui y circule. La constante devant la variation temporelle du courant est donc l'inductance du solénoïde
de longueur b , rayon R sur lequel sont roulées N spires.
7.4.2 Cas du tore
Nous avons trouvé que le champ magnétique B d'un tore de N spires n'existe qu'en son intérieur, où il décrit des cercles. Sa grandeur y est
donnée par notre équation (4.9.11), où Ri et Re représentent ses rayons interne et externe.
Le champ magnétique varie donc en fonction du rayon r . Il reste qu'il nous est possible de considérer un champ magnétique moyen Bm correspondant à un rayon moyen rm , quelque part à mi-chemin entre les rayons interne et externe. Si le noyau du tore est constitué d'un matériau ferromagnétique, le champ magnétique qui y réside Br n'est pas seulement celui, dû au courant, que nous venons de trouver, mais un champ Km fois plus grand, selon notre équation (6.11.1)
champ que nous pouvons réécrire en termes de la perméabilité μ selon notre équation (6.11.4).
Le flux magnétique qui traverse la surface A délimitée par une spire est alors
le produit de ce champ par la section A , puisque le champ, constant sur celle-ci, la traverse totalement.
La force électromotrice induite ℰS dans cette spire, donnée par la loi de Faraday, devient
puisque le courant est le seul qui varie dans le temps.
La force électromotrice induite ℰ aux bornes du tore est N fois celle induite dans les spires jugées individuellement
puisque celles-ci sont roulées en série.
Cette dernière équation relie la force électromotrice induite aux bornes du circuit étudié, ici un tore, à la variation temporelle du courant qui y circule. La constante devant la variation temporelle du courant est donc l'inductance du tore
de rayon moyen rm , de section A et de perméabilité μ sur lequel sont roulées N spires.
7.4.3 Cas des plaques juxtaposées
Nous avons vu que le champ magnétique extérieur d'une feuille mince de longueur L et de largeur a dans lequel circule uniformément, dans le sens de sa longueur, un courant I est parallèle au plan de la feuille; sa valeur
est constante dans l'espace avoisinant.
Si deux feuilles, minces, identiques, parcourues par des courants égaux mais de sens opposés, sont superposées, à une distance s l'une de l'autre, le champ magnétique résultant devient nul partout sauf dans l'espace entre celles-ci, où il est donné par la somme des deux champs identiques. Il s'ensuit que le champ n'existe qu'entre les deux où il est deux fois le champ donné plus haut, et traverse intégralement la surface de longueur L et de hauteur s . Le flux magnétique qui traverse le circuit composé de ces deux feuilles minces est donc
le produit du champ donné par cette surface, puisque, constant sur celle-ci, il la traverse totalement.
La force électromotrice induite aux bornes de cet ensemble de deux feuilles minces superposées, donnée par la loi de Faraday, est
puisque le courant seul peut varier dans le temps.
Cette dernière équation relie la force électromotrice induite aux bornes du circuit à la variation temporelle du courant qui y circule. La constante devant la variation temporelle du courant est
l'inductance du circuit de deux feuilles minces superposées, de longueur L , largeur a , séparées par une distance s et parcourues, dans le sens de la longueur, par des courants égaux et de sens opposés.