<p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">7.9 <span style="text-decoration: underline">Énergies potentielles électrique et magnétique</span></span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><i>a) énergie potentielle électrique</i></span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>Helmholtz, dans son traité de 1847, cherche le travail <i><span style="font-weight: bold">W</span></i> requis pour amener une charge <i><span style="font-weight: bold">Q</span></i> sur un condensateur de capacité <i><span style="font-weight: bold">C</span></i> . La charge <i><span style="font-weight: bold">Q (t)</span></i> , trouvée sur ses armatures, varie donc d'une valeur nulle au début jusqu'à la valeur <i><span style="font-weight: bold">Q</span></i> à la fin de la charge. La tension <i><span style="font-weight: bold">V (t)</span></i> , entre ses armatures, varie elle-aussi d'une valeur nulle à une valeur <i><span style="font-weight: bold">V</span></i> à la fin de la charge</span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">selon notre équation (7.6.1).</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>Nous avons vu, dans notre section 2.16, que le travail requis pour amener une charge d'un point où le potentiel est nul, par exemple, à un point où le potentiel est <i><span style="font-weight: bold">V (t)</span></i> , donné par notre équation (2.16.4), est donné par la différence des énergies potentielles finale et initiale (avec ici ce dernier terme nul). Nous avons vu, de plus, que si la charge ainsi déplacée, infime, <i><span style="font-weight: bold">dQ</span></i> , voit son potentiel changer d'une valeur <i><span style="font-weight: bold">V (t)</span></i> , que son énergie potentielle change d'une imfime valeur <i><span style="font-weight: bold">dU<sub>e</sub> (t)</span></i> </span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">donnée par notre équation (2.16.5) que nous pouvons réécrire à l'aide de notre équation (7.9.1). L'énergie potentielle <i><span style="font-weight: bold">U<sub>e</sub></span> , </i>requise pour charger le condensateur, est donnée par la somme (intégrale) des énergies potentielles infimes requises pour ajouter chaque charge infime <i><span style="font-weight: bold">dQ</span></i> </span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">à celle <i><span style="font-weight: bold">Q (t)</span></i> déjà trouvée sur ses armatures. L'énergie potentielle électrique requise est donc donnée par </span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">la moitié de sa charge finale <i><span style="font-weight: bold">Q</span></i> au carré divisée par sa capacité <i><span style="font-weight: bold">C</span></i> , qui peut être réécrite de deux autres façons à l'aide de notre équation (7.6.1).</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><i>b) densité d’énergie potentielle électrique</i></span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>En 1836, Faraday, avons-nous vu, invente le concept du diélectrique, le milieu où existent des lignes de force électrique qui ne causent pas de conduction, mais <span style="text-decoration: underline">polarisation</span>. Cette polarisation des molécules demande de l'énergie. Aussi, pour Faraday, est-ce ce processus qui requiert l'énergie potentielle du condensateur: c'est <span style="text-decoration: underline">dans le diélectrique</span> qu'elle est accumulée. Voilà pourquoi la capacité dépend de la constante du diélectrique, qui est indicatrice du niveau de polarisation atteint pour un champ électrique donné.</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>Nous avons vu que <span style="text-decoration: underline">toute</span> la région diélectrique entre les plaques, de volume <i><span style="font-weight: bold">L s</span></i> , subit un même champ électrique et donc une même polarisation de ses molécules. Notre équation (7.9.4), donnant l'énergie potentielle du condensateur, réécrite à l'aide de équations (7.6.9), (7.6.10) et (7.6.6) </span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">est maintenant exprimée en termes de la permittivité <i><span style="font-weight: bold">ε</span></i> de son diélectrique, du champ électrique réel <i><span style="font-weight: bold">E<sub>r</sub></span></i> , constant, qui se trouve dans son volume <i><span style="font-weight: bold">A s</span></i> . Il nous est maintenant possible de définir la <span style="text-decoration: underline">densité d'énergie potentielle électrique</span> <i><span style="font-weight: bold">u<sub>e</sub></span></i> comme le rapport de l'énergie potentielle électrique par unité de volume</span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">et donc, ici, par l'équation (7.9.5) divisée par le volume en question, puisque cette densité est constante dans tout ce volume.</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>Paraphrasant Faraday, nous pouvons donc dire que l'énergie requise pour charger un condensateur est emmagasinée, stockée <span style="text-decoration: underline">dans</span> le champ électrique de son diélectrique. Créer un champ électrique dans un diélectrique requiert de l'énergie. Tout système électrique où il y a création d'un champ électrique quelque part dans un diélectrique est donc, en quelque sorte, un condensateur, a une capacité électrique. Et c'est cette énergie électrique qui est remise lors de la décharge du condensateur, comme dans le cas des étincelles produites par une bouteille de Leyde.</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>Nous avons vu, dans notre chapitre cinq, le travail de Kirchhoff qui montre en 1849 que la puissance, requise ou fournie par un élément, est donnée par le produit du courant qui le parcourt par la tension à ses bornes; qu'il peut ainsi retrouver la loi de Joule et le principe de conservation de l'énergie, d'électrique en mécanique et vice-versa, d'électrique en chimique, et vice-versa, d'électrique en chaleur. Nous venons juste de voir que de l'énergie chimique, provenant d'une pile, peut être emmagasinée dans le diélectrique d'un condensateur, ce qui est donc un autre exemple du principe de conservation d'énergie.</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><i>c) énergie potentielle magnétique</i></span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <div class="WPParaBoxWrapper" style="width: 118px; float: right; clear: right"><span class="WPParaBox" style="border: none"> <img src="chapitre7/fig21.gif" alt="fig21.gif" width="113" height="50" border="0"></span></div> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>Lord Kelvin reprend ce travail en 1853, cette fois, dans le cas de l'inductance. Il examine le cas où le courant transitoire <i><span style="font-weight: bold">I (t)</span></i> passe de zéro à une valeur constante <i><span style="font-weight: bold">I</span></i> . La loi d'Henry lui donne la tension <i><span style="font-weight: bold">V (t)</span></i> qui apparaît alors à ses bornes; et la loi de Lenz, ses polarités: le circuit, dit Lenz, réagit pour s'opposer à la cause du changement du flux magnétique qui le traverse. Il s'oppose donc à la variation du courant <i><span style="font-weight: bold">I (t)</span></i> , par un courant induit <i><span style="font-weight: bold">I<sub>i</sub></span></i> <span style="text-decoration: underline">de sens opposé</span>. Or le courant, créé par une force électromotrice, va, <span style="text-decoration: underline">dans celle-ci</span>, de sa borne négative à sa borne positive. Il s'ensuit que les polarités de l'inductance dans ce cas-ci sont, pour le courant <span style="font-weight: bold"><i>I (t)</i></span> , celles d'une force contre-électromotrice, soit les mêmes que celles d'une résistance. Nous pouvons tout de suite conclure que l'inductance va <span style="text-decoration: underline">consommer</span> une certaine puissance, qu'elle va donc demander à la pile chimique, tout comme le condensateur a consommé une certaine puissance demandée à la source, qu'il a stocké dans le champ électrique de son diélectrique. Et, comme le condensateur remet l'énergie accumulée lors de sa décharge, l'inductance va remettre l'énergie qu'elle a soutirée à la pile lorsque le circuit va être ouvert, encore sous la forme de l'étincelle, qu'Henry a remarquée et expliquée en 1832. La puissance <i><span style="font-weight: bold">P (t)</span></i> , sous-tirée du circuit par l'inductance, est, par la loi de Joule, reprise par Kirchhoff d'une part, notre équation (5.6.6), et la loi d'Henry, d'autre part, notre équation (7.3.2)</span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">où les valeurs absolues sont éliminées puisque, le courant augmentant, sa variation est positive.</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>L'énergie <i><span style="font-weight: bold">U</span></i> requise de la pile pour établir le courant jusqu'à sa valeur <i><span style="font-weight: bold">I</span></i> dans l'inductance <i><span style="font-weight: bold">ℒ</span></i> est</span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">qui devient </span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">la moitié du produit du courant au carré par l'inductance.</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span>Mais pourquoi une force contre-électromotrice apparaît-elle aux bornes de l'inductance lors de l'établissement du courant? Parce que celle-ci réagit pour s'opposer à la variation du flux magnétique qui la traverse. Et pourquoi le flux magnétique en question varie-t-il? Parce que varie le champ magnétique causé par le courant.</span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <br> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><i></i></span><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><i>d) densité d’énergie potentielle magnétique</i></span></p> <p style="line-height: 0.187502in"> </p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif"><span>            </span> Lord Kelvin décide que, tout comme l'énergie potentielle électrique du condensateur est emmagasinée dans le champ électrique de son diélectrique, l'énergie potentielle, magnétique, de l'inductance est emmagasinée dans son champ magnétique. L'énergie potentielle magnétique <i><span style="font-weight: bold">U<sub>m</sub></span></i> , donnée par notre équation (7.9.9), se réécrit d'abord comme </span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">compte tenu de l'équation (7.4.11), dans le cas d'un tore, dont le noyau est de perméabilité <i><span style="font-weight: bold">μ</span></i>, de rayon moyen <i><span style="font-weight: bold">r<sub>m</sub></span></i> et de section <i><span style="font-weight: bold">A</span></i> , puis en termes de son champ magnétique <i><span style="font-weight: bold">B<sub>r</sub></span></i> réel, considéré constant, donné par l'équation (7.4.7), comme</span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">où le terme de droite entre parenthèses est le volume du noyau où le champ magnétique est considéré constant. Il nous est maintenant possible de définir la <span style="text-decoration: underline">densité d'énergie potentielle magnétique</span> <i><span style="font-weight: bold">u<sub>m</sub></span></i> comme l'énergie potentielle magnétique par unité de volume</span></p> <p style="text-align: justify; line-height: 0.187502in"><span style="font-family: 'Times New Roman', serif">et donc, ici, par l'équation (7.9.10) divisée par le volume en question, puisque cette densité est constante dans tout ce volume. Nous pouvons donc dire que l'énergie requise pour instaurer un courant dans une inductance est emmagasinée, stockée <span style="text-decoration: underline">dans</span> le champ magnétique qu'elle cause. Créer un champ magnétique requiert de l'énergie. Tout système électrique où il y a création d'un champ magnétique quelque part est donc, en quelque sorte, une inductance. Et c'est cette énergie magnétique qui est remise lors de la formation de l'étincelle remarquée par Henry, comme nous avons déjà dit. </span></p>