8.8 Circuit inductance, résistance et condensateur en série
a) puissances et impédance
Le courant I est le même dans chaque élément d'un circuit série comprenant une source, de tension VS , une inductance de réactance inductive Xℒ , une résistance R et un condensateur XC . Notre équation (8.7.6)
devient, à l'aide des équations (8.4.6), (8.5.5), (8.6.7) et (8.7.2)
écrites en terme du courant au carré puisque c'est ce dernier qui est constant pour chaque élément. L'impédance, aux bornes de la source, soit celle des trois éléments série, est donc
une fois le courant au carré simplifié de chaque terme. Cette dernière équation devient
une fois les réactances écrites en termes de la fréquence angulaire du courant grâce aux équations (8.5.3) et (8.6.5).
b) exemple
Le graphique de l'impédance d'un circuit comprenant, en série, une résistance de 10 Ω, une inductance de 10 mH et un condensateur de 1 μF de capacité, en fonction de la fréquence angulaire du courant, est donné ci-contre. Le terme inductif de notre dernière équation tend vers zéro à une fréquence angulaire très faible, alors que le terme capacité devient très grand: en fait il devient, aux faibles fréquences, le seul important et l'impédance est alors approximativement donnée par la réactance capacitive, qui varie comme l'inverse de la fréquence angulaire. Ce qui se produit sur notre graphique pour des fréquences angulaires inférieures à environ 5 000 rad/s. Le terme capacitif tend vers zéro à une fréquence angulaire très grande, alors que le terme inductif devient très grand: en fait il devient, aux grandes fréquences, le seul important et l'impédance est alors approximativement donnée par la réactance inductive, qui varie comme la fréquence angulaire. Ce qui se produit sur notre graphique pour des fréquences angulaires supérieures à environ 18 000 rad/s. L'impédance passe par une valeur minimale de 10 Ω à une fréquence angulaire de 10 000 rad/s.
c) résonance
L'impédance d'un circuit est purement résistive lorsque sa puissance réactive absorbée est égale à sa puissance réactive fournie, avons-nous vu à notre équation (8.7.8). Cette dernière équation devient
une fois les puissances réactives écrites en terme du courant au carré à l'aide des équations (8.5.5) et (8.5.3), (8.6.7) et (8.6.5). La fréquence angulaire à laquelle l'impédance du réseau série est purement résistif est donc
la fréquence angulaire à laquelle oscille naturellement un circuit comprenant ces deux éléments réactifs, trouvée à notre équation (8.1.9): c'est pourquoi cette fréquence angulaire est dite de résonance. C'est alors, quand la source produit un courant à la fréquence à laquelle le réseau à ses bornes oscille naturellement, que son impédance est purement résistive.
La puissance apparente, donnée par notre équation (8.7.2), est alors égale à la puissance réelle, donnée par notre équation (8.4.3), toutes deux
écrites en terme du courant au carré. Il s'ensuit que, dans le cas d'un réseau série, l'impédance à la résonance est
égale à la résistance du réseau. C'est également la valeur la plus faible de l'impédance selon notre équation (8.8.4).
d) exemple
Dans le cas du circuit déjà examiné, l'impédance purement résistive est de 10 Ω, la valeur de sa résistance. C'est également la valeur minimale que peut avoir l'impédance. La fréquence angulaire à laquelle celle-ci est obtenue est donnée par l'inverse du radical carré du produit de son inductance de 10 mH fois sa capacité de 1 μF, soit de 10 000 rad/s.
Si, aux bornes d'une source de 13 V de fréquence angulaire variable, sont placés en série une résistance de 5 Ω, une inductance de 40 mH et un condensateur de 625 μF alors que la fréquence angulaire est de 100 rad/s, les réactances des inductance et condensateur sont respectivement de 4 Ω par l'équation (8.5.3) et de 16 Ω par l'équation (8.6.5). La réactance nette du réseau est leur différence, soit 12 Ω (capacitive) et l'impédance est de 13 Ω par l'équation (8.8.3). Le courant est de 13 V divisé par 13 Ω, soit de 1 A par l'équation (8.7.1). La tension aux bornes de la résistance est alors de 5 Ω fois 1 A, soit 5 V, par l'équation (8.4.6); celle aux bornes de l'inductance, de 4 Ω fois 1 A, soit 4 V, par l'équation (8.5.3), et celle aux bornes du condensateur, de 16 Ω fois 1 A, soit 16 V, par l'équation (8.6.5). La puissance apparente, de 13 V fois 1 A, soit 13 VA, par l'équation (8.7.2); la puissance réelle, de 5 Ω fois 1 A au carré, soit 5 W, par l'équation (8.4.15); et son facteur de puissance, de 5 W divisé par 13 VA, soit 0,385, par l'équation (8.7.3). La puissance réactive absorbée par l'inductance est de 4 Ω fois 1 A au carré, soit 4 VAR, par l'équation (8.5.5); celle fournie par le condensateur, de 16 Ω fois 1 A au carré, soit 16 VAR, par l'équation (8.6.7). La source doit donc donner 5 W de puissance réelle et absorber les 12 VAR que l'impédance fournit en trop.
La fréquence angulaire de résonance de ce circuit est de 200 rad/s, par l'équation (8.8.6). Les réactances capacitive et inductives sont alors de 8 Ω chacune par nos équations (8.6.5) et (8.5.3); l'impédance, purement résistive, du circuit, de 5 Ω par l'équation (8.8.8). Le courant est de 2,6 A par l'équation (8.7.1). La tension aux bornes de la résistance est de 13 V par l'équation (8.4.6), et celles aux bornes des réactances, de 20,8 V par les équations (8.6.5) et (8.5.3).
e) réseau téléphonique
Les premiers téléphones, avons-nous vu plus tôt dans ce chapitre, sont en circulation en 1877. Ce qui nécessite des échangeurs ainsi que des fils électriques de plus en plus nombreux au fur et à mesure que le nombre d'abonnés augmente. Au début, chaque abonné est relié à l'échangeur par un seul fil, comme dans le cas du télégraphe: la terre agit comme fil de retour. Le grand nombre d'abonnés rend énorme le nombre de fils uniques. Aussi le câble téléphonique est introduit en 1884 par la compagnie Western Electric: un faisceau de fils minces, disons 52 paires, isolés par du gutta percha ou du caoutchouc, sont recouverts par deux enveloppes de coton d'une épaisseur totale de 3 mm, puis recouverts d'une enveloppe de plomb mise à la terre. Le fil de retour remplace la mise à terre des appareils récepteur et émetteur à partir de 1892, doublant ainsi le nombre de fils requis: les 52 paires ne relient à la centrale que 52 abonnés.
Il est réalisé assez rapidement que ce type de câble a un effet capacitif important, comme le câble sous-marin. Celui-ci peut être réduit en remplaçant le diélectrique par un de constante diélectrique plus faible. Mais l'amélioration est faible.
Le câble apparaît donc comme un condensateur et une résistance aux ondes électriques qui s'y propagent, mimant les ondes sonores qui leur ont donné naissance: il consomme donc une puissance réelle et fournit une puissance réactive. L'impédance du circuit, qui comprend le câble, l'émetteur et le récepteur téléphoniques, est plus grande que la somme des résistances. Sir William Henry Preece (1834-1913) montre en 1887 que la distance maximale possible pour transmettre la voix de façon cohérente avec le câble téléphonique dépend et de la résistance du circuit, et de la capacité du câble. La résistance du câble est réduite à l'aide de fils conducteurs plus gros. Mais encore y a-t-il une limite à la grosseur du fil qui peut être installée. Aussi seules les villes très proches peuvent être reliées ensemble par téléphone. Heaviside reprend le travail de Preece et en 1892 montre que la solution du problème consiste à augmenter l'inductance du circuit: ou dit, autrement, installer dans le circuit des inductances qui vont absorber la puissance réactive fournie par la capacité du câble et ainsi réduire l'impédance du circuit à sa valeur la plus faible: celle correspondant à la somme de ses résistances.
En 1899, Michael Idvorsky Pupin (1858-1935) propose, à la compagnie American Telephone et Telegraph, l'installation d'inductances à des distances fixes sur les lignes téléphoniques entre les villes afin d'obtenir la situation d'impédance minimale. La ligne de téléphone de 16 km entre New York et Newark est ainsi installée en 1902: la conversation alors entendue est aussi bonne que pour un câble sans inductance de 8 km. En 1905, celle entre New York et Philadelphie, longue de 144 km, est installée avec des bobines toroïdales placées à tous les 2 km; celle entre New York et Washington, en 1912, et entre New York et Boston, longues de 380 km en 1914. Finalement, New York et San Francisco, distantes de 5440 km, sont reliées grâce aux inductances d'une part, mais également à un nombre de répéteurs en 1915.